求一个多元分式的最小值

lemondian

（1）设$a,b,c>0$，若$x>a,y>b,z>c$，求$\dfrac{(x+y+z)^2}{\sqrt{x^2-a^2}+\sqrt{y^2-b^2}+\sqrt{z^2-c^2}}$的最小值。
(2)设$a_i>0(i=1,2,\cdots ,n)$，且$a_i$互不相同，若$n\geqslant 2$，且$x_i>a_i$,求$\dfrac{(x_1+x_2+\cdots +x_n)^2}{\sqrt{x_1^2-a_1^2}+\sqrt{x_2^2-a_2^2}+\cdots +\sqrt{x_n^2-a_n^2}}$的最小值。

kuing

由闵可夫斯基有
\[\left(\sum\sqrt{x^2-a^2}\right)^2+\left(\sum\sqrt{a^2}\right)^2\leqslant\left(\sum\sqrt{x^2-a^2+a^2}\right)^2,\]
得到
\[\sqrt{x^2-a^2}+\sqrt{y^2-b^2}+\sqrt{z^2-c^2}\leqslant\sqrt{(x+y+z)^2-(a+b+c)^2},\]
由均值有
\[\sqrt{(x+y+z)^2-(a+b+c)^2}\sqrt{(a+b+c)^2}\leqslant\frac{(x+y+z)^2}2,\]
所以
\[\text{原式}\geqslant\frac{(x+y+z)^2}{\sqrt{(x+y+z)^2-(a+b+c)^2}}\geqslant2(a+b+c),\]
取等懒得写（应该没问题）。

同理可证多元的。