关于垂心四面体垂心位置的判别式

lihpb

垂心四面体$A_1A_2A_3A_4$的垂心为$H$，外接球半径为$R$，则：

当$H$在垂心四面体$A_1A_2A_3A_4$的内部时，
\[\sum_{i\le1<j\le4}A_iA_j^2>12R^2\]；

当$H$与垂心四面体$A_1A_2A_3A_4$的任一顶点重合时，
\[\sum_{i\le1<j\le4}A_iA_j^2=12R^2\]；

当$H$在垂心四面体$A_1A_2A_3A_4$的外部时，
\[\sum_{i\le1<j\le4}A_iA_j^2<12R^2\]。

hejoseph

如果四面体 $ABCD$ 是垂心四面体，那么对棱平方和相等，可以设 $AB^2=w+x$，$AC^2=w+y$，$AD^2=w+z$，$BC^2=x+y$，$BD^2=x+z$，$CD^2=y+z$，垂心的重心坐标就是 $xyz:wyz:wxz:wxy$。
重心坐标的所有分量都是正数则在四面体内，此时对应 $w$、$x$、$y$、$z$ 都是正数。
重心坐标只要其中一个分量是 $0$ 则在四面体一面内，此时对应 $w$、$x$、$y$、$z$ 其中之一是 $0$，此时肯定垂心与某个顶点重合。
重心坐标只要其中一个分量是负数则在四面体外，此时对应 $w$、$x$、$y$、$z$ 有一个是负数。
然后用棱长确定的外接球半径公式计算一下外接球半径就行了。