圆与指对数交点$y_3<y_1<y_4<y_2$

Zach

设圆$C_1:(x-1)^2+y^2=1$，圆$C_2:x^2+(y-1)^2=1$，$G_1:y=2^x$，$G_2:y=log_2(x)$，
已知$G_1$和$C_2$交于$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，且$x_1<x_2$，
以及$G_2$和$C_1$交于$C(x_3,y_3)$和$D(x_4,y_4)$，且$x_3<x_4$，
证明：$y_3<y_1<y_4<y_2$

Czhang271828

也就是证明 $y_3<0<y_1<y_4<1<y_2$, 不显然的地方是 $y_1<y_4$.

回忆熟知结论: $21^2+20^2=29^2$, $8^2+15^2=17^2$.

先断言 $y_4>\frac{21}{29}$, 也就是圆上的点 $(1+\frac{20}{29},\frac{21}{29})$ 落在 $y=\log_2x$ 下方, 即 $\log_2(1+\frac{20}{29})>\frac{21}{29}$. 转化得
$$
49^{29}>29^{29}\cdot 2^{21}
$$
依照 $49^4>29^4\cdot 2^3$ 即可.

再断言 $y_1>1-\frac{8}{17}$, 也就是圆上的点 $(-\frac{15}{17},1-\frac{8}{17})$ 落在 $y=2^x$ 上方, 即 $2^{-15/17}>1-\frac 8{17}$. 转化得
$$
9^{17}\cdot 2^{15}<17^{17}
$$
也就是 $(18/17)^{17}<4$. 这是显然的, 因为左式小于 $e$.

综上, $y_1<9/17<21/29<y_4$.

当然, 用 $y_1<9/17<3/5<y_4$ 也行 (精度差的比较多, 但计算简单). 右侧不等式等价于 $\log_2(1+4/5)>3/5$, 也就是 $9^5>8\cdot 5^5$. 背诵简单幂: $59049>25000$.

二位勾股分数的最近逼近: $\frac{21}{29}<y_4<\frac{72}{97}$, $\frac{39}{80}<(1-y_1)<\frac{8}{15}$.