代数不等式

lihpb

当 $n \geqslant 3$ 时，注意到代数不等式：设 $x_i \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，且 $\sum_{i=0}^n x_i=1$ ，则
\[
\prod_{i=0}^n\left(1-2 x_i\right) \geqslant(n+1)^{n+1} \cdot(n+1)^{\frac{n+1}{n}} \cdot\left(\prod_{i=0}^n x_i\right)^{\frac{n+1}{n}}
\]
其中等号当且仅当 $x_0=x_1=\cdots=x_n=\frac{1}{n+1}$ 时取得．

Czhang271828

取 $x_i=\frac{1}{n+1}$, 左式有因子 $(n-1)$, 右式没有 $(n-1)$. 这题正确?

lihpb

Czhang271828 发表于 2024-6-21 18:03
取 $x_i=\frac{1}{n+1}$, 左式有因子 $(n-1)$, 右式没有 $(n-1)$. 这题正确?

不正确，我猜测右边有一个因子写错了应该是n-1，你看看能不能推出正确的那个不等式出来

Czhang271828

lihpb 发表于 2024-6-21 20:57
不正确，我猜测右边有一个因子写错了应该是n-1，你看看能不能推出正确的那个不等式出来 ...

你可以做到 $\prod_{i=0}^n (1-2x_i)\to 0$ 同时 $\prod_{i=0}^n x_i\to \frac{1}{2^{n+1}n^n}$. 不管右边系数如何改, 左边永远控制不了右边.