一个三元的分式不等式

lemondian

若$x,y,z\geqslant 0$，证明：
$\dfrac{x^2}{y^2+yz+z^2}+\dfrac{y^2}{z^2+zx+x^2}+\dfrac{z^2}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{4xyz}{x^3+y^3+z^3}\geqslant 2$.

另，这个不等式有没有加强式？或者能不能推广呢？

lemondian

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lemondian

@kuing,@Czhang271828:
看看能不能解决一下这个题？

lemondian

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lemondian

有人提供了一个思路，麻烦看看是否可行：@kuing,@Czhang271828:
$\dfrac{x^2}{y^2+yz+z^2}+\dfrac{y^2}{z^2+zx+x^2}+\dfrac{z^2}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{4xyz}{x^3+y^3+z^3}\geqslant 2$.
等价于：
$\dfrac{x^6}{x^4(y^2+yz+z^2)}+\dfrac{y^6}{y^4(z^2+zx+x^2)}+\dfrac{z^6}{z^4(x^2+xy+y^2)}+\dfrac{(2xyz)^2}{xyz(x^3+y^3+z^3)}\geqslant 2$.
则有$\dfrac{x^6}{x^4(y^2+yz+z^2)}+\dfrac{y^6}{y^4(z^2+zx+x^2)}+\dfrac{z^6}{z^4(x^2+xy+y^2)}+\dfrac{(2xyz)^2}{xyz(x^3+y^3+z^3)}
\geqslant \dfrac{(x^3+y^3+z^3+2xyz)^2}{x^4(y^2+yz+z^2)+y^4(z^2+zx+x^2)+z^4(x^2+xy+y^2)+xyz(x^3+y^3+z^3)}$.
则需证：
$\dfrac{(x^3+y^3+z^3+2xyz)^2}{x^4(y^2+yz+z^2)+y^4(z^2+zx+x^2)+z^4(x^2+xy+y^2)+xyz(x^3+y^3+z^3)}\geqslant 2$.
即证：
$(x^3+y^3+z^3+2xyz)^2-2[x^4(y^2+yz+z^2)+y^4(z^2+zx+x^2)+z^4(x^2+xy+y^2)+xyz(x^3+y^3+z^3)]\geqslant 0$.

下面应该如何进行下去呢？

lemondian

这里有一个类题，听说容易证些：
设$a,b,c>0$，求证：
$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{9abc}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geqslant 2$.

lemondian

类题（2）：
设$a,b,c\geqslant 0,ab+bc+ca>0$，求证：
$\dfrac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b^2}{2(c^2+ca+a^2)}+\dfrac{c^2}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{3abc}{a^3+b^3+c^3}\geqslant \sqrt{2}$.

kuing

lemondian 发表于 2024-7-10 15:10
有人提供了一个思路，麻烦看看是否可行： ...

记
\[F=\left(\sum x^3+2xyz\right)^2-2\left[\sum x^4(y^2+yz+z^2)+xyz\sum x^3\right].\]

（1）若 `\sum x^2\geqslant2\sum yz`，则
\begin{align*}
F={}&\left(\sum x^2-2\sum yz\right)\left[\sum x^4+\sum y^2z^2+2\sum xy(x^2+y^2)\right]\\
&+xyz\left[10\sum x^3+4\sum xy(x+y)+xyz\right]\\
\geqslant{}& 0;
\end{align*}

（2）若 `\sum x^2<2\sum yz`，则
\begin{align*}
&\left(7\sum x^2+2\sum yz\right)^2\cdot F\\
={}&\left(2\sum yz-\sum x^2\right)^3\left(2\sum x^4+5\sum y^2z^2+2\sum x^2yz\right)\\
&+\sum x^3(x-y)(x-z)\Bigl[
51\sum x^5+67\sum xy(x^3+y^3)\\
&+106\sum x^2y^2(x+y)+xyz\left(157\sum x^2+112\sum yz\right)
\Bigr]\\
>{}&0.
\end{align*}

综上所述得 `F\geqslant0`，当 `x=0` 且 `y=z` 及其轮换时取等。

lemondian

kuing 发表于 2024-7-10 22:45
记
\[F=\left(\sum x^3+2xyz\right)^2-2\left[\sum x^4(y^2+yz+z^2)+xyz\sum x^3\right].\]

谢谢，有点疑问：标红处如何判断为正？


另外，类题有证明吗？

lemondian

看到这个，不知对不对？

kuing

lemondian 发表于 2024-7-11 21:01
看到这个，不知对不对？

倒数第二行有问题。`c^6+2(a^3+b^3)c^3` 并不 `\ge 3(a^2+b^2)c^4`