两个类似的不等式

lemondian

（１）若$a,b,c$为正实数，满足$a+b+c=3$。证明：$(a^3+1)(b^3+1)(c^3+1)$.
（２）实数$a,b,c$满足$ab+bc+ca=44$，求$(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)$的最小值.

这类不等式是不是有统一的形式及证明？

kuing

第一题打漏 >=8

两者不是一类题。

（2）是你以前问过的 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=7820，考的只是一个恒等式。这里是
\[(a^2+4)(b^2+4)(c^2+4)=4(ab+bc+ca-4)^2+(4a+4b+4c-abc)^2.\]

Czhang271828

第一问: $\ln (1+x^3)$ 的二阶导数 $\frac{6x}{(1+x^2)^2}>0$. Jensen 知 $a=b=c$ 取最小值 $8$,  $(a=b)\land (c=3)$ 取最大值 $28$. 值域 $[8,28]$.

第二问: 若 $ab+bc+ca$ 是常数, 则 $(a^2+p)(b^2+p)(c^2+p)$ 的最小值在 $a=b=c$ 或 $(a=b)\land (c=0)$ 处取到. 齐次化后硬算即可, 见此处.

kuing

（1）由抽屉原理知 `a`, `b`, `c` 中至少两个同时 `\geqslant1` 或同时 `\leqslant1`，因此可不妨设 `(a-1)(b-1)\geqslant0`，即 `ab\geqslant a+b-1`，于是由 Carlson 不等式有
\begin{align*}
\text{原式}&=(a^3+1)(b^3+1)(1+c^3)\\
&\geqslant(ab+c)^3\\
&\geqslant(a+b-1+c)^3\\
&=8,
\end{align*}
当 `a=b=c=1` 取等。

可见（1）和（2）完全不是一类题。