一道函数零点分类讨论题

nttz

若函数$f(x) = 2 \sqrt{x^2-ax} - \left | ax-2 \right | + 1$ 只有唯一零点， 则 a的取值范围是
类似问题有什么讨论的依据，还有如何描图

nttz

有高手能解决下含绝对值和复合的含参数如何讨论取值问题？

Czhang271828

换元方案 $a\mapsto -a$ 与方案 $x\mapsto -x$ 效果同样, 分类讨论只需考虑 $a\geq 0$ 即可. 分类讨论时, 图像右段 ($x\geq a$) 较图像左段 ($x\leq 0$) 更复杂. 以下先讨论左段.
左段分析:

• 若 $a\in [0,2]$​, 则以下关于 $-x$ 的导数 $(2\sqrt{x^2-ax})'> (2\sqrt{x^2-ax+a^2/4})'=2$, 从而 $f'(x)<(-2)-(-2)=0$, 故 $f(x)$ 单调递减. 结合 $f(0)=-1$, $f(-\infty)>0$, 从而左段恰有一个零点.
• 若 $a\geq 2$, 此时 $f(-1/a)=2\sqrt{1+1/a^2}-2>0$. 结合 $f(0)=-1$, $f(-\infty)<0$, 从而左段至少有两个零点.

这表明右段只需分析 $a\in [0,2]$.
右段分析:

• 类似以上导数计算, $f$ 的右段在 $a\leq 2$ 时是严格单增的. 结合 $f(a)=1-|a^2-2|$ 可知, 右段无零点当且仅当 $a\in (1,\sqrt 3)$.

从而 $|a|\in (1,\sqrt 3)$.
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下图中, $A(-1/a,f(-1/a))$ 是左段纵坐标恒大于 $0$ 的点, $B(a,1-|a^2-2|)$ 是右段起点 ($B$ 的轨迹是灰色线段).
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大图折一下, 点击展开.

snowblink

显然$a=0$时$f\left ( x \right ) = 2\left | x \right | - 1$有两个不同零点，故$a\neq0$.
令$ax-2=t$，则$t=\dfrac{t+2}{a} $，原题等价于方程$2\sqrt{\dfrac{\left ( t+2 \right )\left ( t+2-a^2 \right )  }{a^2} }= \left | t \right | - 1$有一个实根.

如图，$y=2\sqrt{\dfrac{\left ( t+2 \right )\left ( t+2-a^2 \right )  }{a^2} } $为双曲线的上半部分，恒过点$\left ( -2,0 \right ) $，联立双曲线与$y=\pm x - 1$，可得$\begin{array}{1}
  \left\{\begin{matrix}
\left ( 4 - a^2 \right ) x^2+\left ( 16-6a^2 \right )x+16-9a^2=0  \\
\left ( 4 - a^2 \right ) x^2+\left ( 16-2a^2 \right )x+16-9a^2=0  \\
\end{matrix}\right.   
\end{array} $ ，
第一个方程的判别式$\Delta _{1} = 16a^2 > 0$，
故双曲线的左支与$y = \left | x \right | - 1$的图象必有交点，但需满足其唯一性，有$\begin{array}{1}
  \left\{\begin{matrix}
-\dfrac{2}{\left | a \right | }\leqslant -1 \\
-1<a^2-2<1\\
\end{matrix}\right.   
\end{array} $ ，因此$a \in \left ( -\sqrt{3} , 1 \right ) \cup \left ( 1 , \sqrt{3}  \right ) $.

nttz

snowblink 发表于 2024-6-28 14:18
显然$a=0$时$f\left ( x \right ) = 2\left | x \right | - 1$有两个不同零点，故$a\neq0$.
令$ax-2=t$， ...

和3#的结果还不同？？

nttz

snowblink 发表于 2024-6-28 14:18
显然$a=0$时$f\left ( x \right ) = 2\left | x \right | - 1$有两个不同零点，故$a\neq0$.
令$ax-2=t$， ...

请教几个问题
1. 怎么知道$a^2 - 2 > -2$ ? 或者如何知道左和右？
2. 第一个判别式大于 > 0, 怎么知道左支和直线交点就一定在x轴上方？
3.最后满足唯一性的不等式组能解释下？

nttz

Czhang271828 发表于 2024-6-27 14:54
换元方案 $a\mapsto -a$ 与方案 $x\mapsto -x$ 效果同样, 分类讨论只需考虑 $a\geq 0$ 即可. 分类讨论时,  ...

能不能把步骤说了易懂些？
1.为啥只需a>=0?
2.图像右段和左段在考试的没有软件如何分析呢？
3.下面左段分析就更加看不懂啊

Czhang271828

nttz 发表于 2024-6-30 15:57
能不能把步骤说了易懂些？
1.为啥只需a>=0?
2.图像右段和左段在考试的没有软件如何分析呢？

1. $f_a(x)$ 零点唯一等价于 $f_a(-x)$ 零点唯一. 同时 $f_a(-x)=f_{-a}(x)$. 因此 $a$ 属于解集当且仅当 $-a$ 属于解集.

2. 软件作图是后加的, 原先解答未使用.

3. 左段分析证明以下即可, 其中 $(a)$ 是定义域分析, $(b)$ 是单调性分析, $(c)$ 是正负性以及零点分析. 以下可以按照顺序证明, 方法不必严格按照之前的回答.

$(a_1)$ 函数定义域是 $(-\infty,0]$. 同时把绝对值消除掉.

$(b_1)$ 函数至多有一个驻点 (即, 导数为零的点).

$(b_2)$ 函数在 $0$ 附近是严格单调递减的.

$(b_3)$ 函数可能先增后减 $(a>2)$, 可能一直减 ($a\geq 2$).

$(c_1)$ 代入特殊点: $f(0)<0$, 以及 $f(-1/a)>0$, 以及 $-x$ 足够大时 $f(x)$ 的符号.

$(c_2)$ 函数在 $(-1/a,0)$ 仅有 $1$ 个零点, 函数在 $(-\infty,-1/a)$ 有 $1$ 个或 $0$ 个零点 (分界点依然是 $a=2$).

$(c_3)$ 最终结论.

注: 稍微棘手的或许是 $a=2$ 时的分析; 但右段讨论没用上 $a=2$, 从而分析不出 $a=2$ 不影响解答的完整性.