陈不等式$a(a+b+c)+bc=4-2\sqrt3$ 有无别解

isee

链接：bbs.pep.com.cn/thread-476763-1-1.html

除原链接中基本不等式搞定外，还有别解么？

若$a,b,c>0$，且$a(a+b+c)+bc=4-2\sqrt3$，则$2a+b+c$的最小值是______。

kuing

\[
4-2\sqrt3=a(a+b+c)+bc\leqslant a^2+a(b+c)+\frac{(b+c)^2}4=\left(a+\frac{b+c}2\right)^2
\]算另一种解法吗

isee

回复 2# kuing


   
算，，这样变形……像几何的线段和差一般

isee

换汤不换药有

\begin{align*}
4-2\sqrt3&=a(a+b+c)+bc\\
&=a^2+ab+ac+bc\\
16-8\sqrt3&=4a^2+4ab+4bc+4ca
\end{align*}

而

\begin{align*}
(2a+b+c)^2&=4a^2+b^2+c^2+4ab+2bc+4ca\\
&=4a^2+4ab+4bc+4ca+b^2+c^2-2bc\\
&=16-8\sqrt3+(b-c)^2\\
&\cdots
\end{align*}

isee

能不能换元？尝试$$t=2a+b+c$$

则
\begin{align*}
b+c&=t-2a\\[2em]

4-2\sqrt3&=a(a+b+c)+bc\\[1ex]
&=a^2+a(b+c)+bc\\[1ex]
&=a^2+a(t-2a)+bc\\[1ex]
&=at-a^2+bc\\[1ex]
&\leqslant at-a^2+\left(\frac {b+c}{2}\right)^2\\[1ex]
&=at-a^2+(\frac t2 -a)^2\\[1ex]
&=at-a^2+\frac {t^2}4 -at+a^2\\[1ex]
&=\frac {t^2} 4
\end{align*}

晕，抓住等号成立条件后，随便套

isee

能不能联系二次函数或一元二次方程？
由楼上有：

\begin{align*}
b+c&=t-2a\\[1em]
4-2\sqrt3&=at-a^2+bc
\end{align*}

亦

\begin{align*}
b+c&=t-2a\\[1em]
bc&=4-2\sqrt3-at+a^2
\end{align*}

构造关于$x$的二次方程

\begin{align*}
x^2-(t-2a)x+(4-2\sqrt3-at+a^2)=0
\end{align*}

只用判别式可否？

目测一下，判别式后只剩下$t$了，可行，结合条件应该考虑有两正根情形

其妙

换汤不换药：
$(2a+b+c)^2=4a^2+4a(b+c)+(b+c)^2\geqslant4a^2+4a(b+c)+4bc=4[a(a+b+c)+bc]=4(4-2\sqrt3)$

isee

回复 7# 其妙


也赞

是否山穷水尽了呢

敬畏数学

回复 1# isee
可以用最平常的方法消去b或c，不妨c=（4-2根号3）/（a+b）-a，
代入目标得（4-2根号3）/（a+b）+（a+b）基本不等式OK!很平常啊！
不过也可以眼睛看下就OK了。高手均知。呵呵。。。

踏歌而来

回复 1# isee

链接：bbs.pep.com.cn/thread-476763-1-1.html
打不开。

isee

回复  isee

链接：
打不开。
踏歌而来 发表于 2016-12-30 17:27

    bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=476763

kuing

回复 10# 踏歌而来

以后见到类似于：
http://bbs.pep.com.cn/thread-476763-1-1.html
这样的链接时，将其改为：
http://bbs.pep.com.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=476763
即可打开。

PS、其实人教论坛的管理员在后台稍作设置应该就可以解决这问题，不需要我们手动改链接的，可惜那边没人会理这些小事。

踏歌而来

谢谢！

力工

回复 13# 踏歌而来

重庆高考题？