逆等线下的线段最小值

走走看看

在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=4，点D、E分别在AC、BC上运动，且满足AD=CE，BD、AE的交于点F，求CF的最小值。


这道题本来是加权逆等线，$AD=\frac{\sqrt{2}}{2}CE$，这样易求得∠AFB=135°，F的轨迹是圆。

但如果AD=CE，则发现∠AFB的角度不固定，通过几何画板跟踪F点的轨迹发现是椭圆，但确定不了它的椭圆中心和长短轴。

kuing

就是说，原题条件是 `AD=\frac{\sqrt{2}}{2}CE`，你现在想改题，去掉系数？

这样改的话，证明 `F` 轨迹是椭圆还行（可以用解几方法），但要求 `CF` 的最小值很有可能没有简单解。

一般来说，椭圆上动点到某定点的最小距离问题涉及四次方程。

走走看看

kuing 发表于 2024-7-2 22:18
就是说，原题条件是 `AD=\frac{\sqrt{2}}{2}CE`，你现在想改题，去掉系数？

这样改的话，证明 `F` 轨迹是 ...

得到了椭圆的长短轴，用参数方程就可以得到最小距离吧？

关键是椭圆方程不好确定。

kuing

走走看看 发表于 2024-7-3 08:59
得到了椭圆的长短轴，用参数方程就可以得到最小距离吧？

关键是椭圆方程不好确定。 ...

随手举个例子：求椭圆 `\dfrac{x^2}4+y^2=1` 上的点到 `(1,1)` 的最小距离。
你试试。

走走看看

kuing 发表于 2024-7-3 10:23
随手举个例子：求椭圆 `\dfrac{x^2}4+y^2=1` 上的点到 `(1,1)` 的最小距离。
你试试。 ...

算了下，确实涉及四次方程。

看来，难以求出最小距离。

kuing

不妨设 `C(0,0)`, `B\bigl(2\sqrt2,2\sqrt2\bigr)`, `A\bigl(4\sqrt2,0\bigr)`，由 `AD=CD` 可设 `D\bigl((4-t)\sqrt2,0\bigr)`, `E(t,t)`，则 \begin{align*} AE&:\frac y{x-4\sqrt2}=\frac t{t-4\sqrt2},\\ BD&:\frac{y-2\sqrt2}{x-2\sqrt2}=\frac2{t-2}, \end{align*} 联立以上两直线消 `t` 即得交点 `F` 的轨迹方程为 \[\bigl(x-4\sqrt2\bigr)^2+\bigl(2\sqrt2-1\bigr)y^2-8y=0.\]

走走看看

kuing 发表于 2024-7-3 14:55
不妨设 `C(0,0)`, `B\bigl(2\sqrt2,2\sqrt2\bigr)`, `A\bigl(4\sqrt2,0\bigr)`，由 `AD=CD` 可设 `D\bigl(( ...

厉害！💯