求四元最小值

lemondian

问题1：已知$ab+bc+cd+da=1$，求$a^2+2b^2+4c^2+8d^2$的最小值。

在一般情况下，问题2能不能求最值？

问题2：已知$p,q,r,s>0$,且$ab+bc+cd+da=M$，求$pa^2+qb^2+rc^2+sd^2$的最小值。

色k

提示：ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)

lemondian

问题1能不能用均值不等式解答呢？

战巡

令
\[X=\begin{pmatrix}\sqrt{p}a &\sqrt{q}b &\sqrt{r}c&\sqrt{s}d\end{pmatrix}\]
\[A=\begin{pmatrix}0 & \frac{1}{2\sqrt{pq}} & 0 & \frac{1}{2\sqrt{ps}}\\\frac{1}{2\sqrt{pq}} & 0 & \frac{1}{2\sqrt{qr}} & 0\\0 &\frac{1}{2\sqrt{qr}} & 0 & \frac{1}{2\sqrt{rs}}\\\frac{1}{2\sqrt{ps}} & 0 &\frac{1}{2\sqrt{rs}} & 0\end{pmatrix}\]

于是
\[XX^T=pa^2+qb^2+rc^2+sd^2\]
\[XAX^T=ab+bc+cd+ad\]

按最小-最大值定理，有
\[\lambda_{\mbox{min}}\le\frac{XAX^T}{XX^T}\le \lambda_{\mbox{max}}\]
其中$\lambda_{\mbox{min}},\lambda_{\mbox{max}}$分别为$A$的最小和最大特征根，这里不难求出$A$的四个特征根，分别为
\[\lambda_1=\lambda_2=0\]
\[\lambda_3=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(p+r)(q+s)}{pqrs}}\]
\[\lambda_4=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(p+r)(q+s)}{pqrs}}\]

即
\[-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(p+r)(q+s)}{pqrs}}\le\frac{XAX^T}{XX^T}\le \frac{1}{2}\sqrt{\frac{(p+r)(q+s)}{pqrs}}\]
\[-XX^T\le 2M\sqrt{\frac{pqrs}{(p+r)(q+s)}}\le XX^T\]
\[XX^T\ge 2|M|\sqrt{\frac{pqrs}{(p+r)(q+s)}}\]

lemondian

战巡 发表于 2024-7-20 14:18
令
\[X=\begin{pmatrix}\sqrt{p}a &\sqrt{q}b &\sqrt{r}c&\sqrt{s}d\end{pmatrix}\]
\[A=\begin{pmatrix}0  ...

用柯西与均值不等式，可以求得最小值。
我的意思是可不可以只用均值呢？
$a^2+2b^2+4c^2+8d^2$
$=(xa^2+yb^2)+(zb^2+mc^2)+(nc^2+kd^2)+(td^2+sa^2)$
$\geqslant 2\sqrt{xa^2\cdot yb^2}+2\sqrt{zb^2\cdot mc^2}+2\sqrt{nc^2\cdot kd^2}+2\sqrt{td^2\cdot sa^2}$
...