一个完全由 0 和 1 组成的数是否有可能为完全平方数？

uk702

问题1: 10^m + 1不能为完全平方数。
证：易知 10^m + 1 是一个  3k - 1 型的数，固知非 3 的倍数若为完全平方数，必为  3k + 1 型，所以   10^m + 1  不能为完全平方数。

问题2： 10^m + 10^n + 1  不能为完全平方数。
证：易知  10^m + 10^n + 1   是   9k + 3 型，是 3 的倍数但不是 9 的倍数，所以不可能是完全平方数。

问题3： 10^m + 10^n + 10^p + 1 不能为完全平方数。
证：若 n=p，显然 10^m + 10^n + 10^p + 1 是可以为完全平方数，下面讨论仅限于 m>n>p>0 的情况。
（... 以下不会了 ...）

问题：一个完全由 0 和两个以的 1 组成的数是否有可能为完全平方数？ 若有，其最小值是 （  ） ？

Czhang271828

oeis.org/A016070

未解之谜. 看来进制没选对, 如果是 5 进制, 那可以当做竞赛题.

uk702

Czhang271828 发表于 2024-7-9 13:40
https://oeis.org/A016070

未解之谜. 看来进制没选对, 如果是 5 进制, 那可以当做竞赛题. ...

求教：5 进制怎么证？

uk702

uk702 发表于 2024-7-9 17:42
求教：5 进制怎么证？

5进制下，有完全由 0和1组成的完全平方数：
bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=19546&page=1#pid101190，第 10 楼

Czhang271828

uk702 发表于 2024-7-9 17:42
求教：5 进制怎么证？

注意到 $(x(x(5x-1)(5x+4)+3)^2+1)^2=$
$$
625 x^8 + (625+125) x^7 + 25 x^6 + (25+5) x^5 + (125+25+5+1) x^4 + (5+1) x^3 + x^2 + (5+1) x + 1.
$$
从而对较大的 $x=5^k$, 上式是只含 $0$ 与 $1$ 的平方式.

如果出个算法题, 找到这组解还是挺快的.

uk702

关于问题3，我在 math.stackexchange.com/questions/4943757/can-10m10n10p1-be-a-perfect-square-number 提交了一个 question.

某位老师给了个解答，我认为需要作适当补充，我不知道我是不是将问题想复杂了。