两个根式的最值

lemondian

以下两个结论对吗？
（1）若函数$f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b^2}+\sqrt{(x-c)^2+d^2}$（其中$a,c\inR,b,d\inR^+$），则当$x=\dfrac{bc+ad}{b+d}$时,$f(x)_{min}=\sqrt{(a-c)^2+(b+d)^2}$.
（2）若函数$f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b^2}-\sqrt{(x-c)^2+d^2}$（其中$a,c\inR,b,d\inR^+$），则当$x=\dfrac{bc-ad}{b-d}$时,$f(x)_{max}=\sqrt{(a-c)^2+(b-d)^2}$.

总觉得哪有点问题的😅

Czhang271828

(1) 无非是 $\text{距离}[(x,0),(a,b)]+\text{距离}[(x,0),(c,- d)]$. 就是你的答案.

(2) 无非是 $\text{距离}[(x,0),(a,b)]-\text{距离}[(x,0),(c,d)]$.

$b>d$ 时取值范围 $(-|a-c|,\text{你的答案}]$, 取等条件分别是负无穷远和共线.

$b=d$ 时取值范围 $(-|a-c|,|a-c|)$, 取等条件分别是负正无穷远处.

$b<d$ 时和 $b>d$ 反过来. 略.

lemondian

能写一写问题(2)各种情形的详细过程吗？
有点看不懂哩

Czhang271828

lemondian 发表于 2024-7-9 17:57 能写一写问题(2)各种情形的详细过程吗？ 有点看不懂哩

$b=d$ 应该能看懂. 对称性应该也能看懂. $b>d$ 右端 ($\text{你的答案}$) 的依据是"三角形两边之差小于第三边", 取等当且仅当三点共线.

真正需要解释的应该是左边那端.

当 $x$ 在共线处的右边, 则结果不会是负数; 若 $x$ 往负半轴移了较大的距离, 则结果是负数, 因此左边的下确界是个负值.

这个负值的绝对值是下图蓝线长度 (红线是"作等腰三角形"留下的辅助线), 问题转化作蓝线长度最大值.

作垂足, 蓝线长度 $\leq$ 紫线长度 $=l\cdot \cos\theta$. 右边的极限状况是"蓝线与横坐标平行", 此时不等式取等, 答案 $|a-c|$. 由于 $x=-\infty$ 没意义, 因此要舍取这个端点.

lemondian

Czhang271828 发表于 2024-7-10 21:15
$b=d$ 应该能看懂. 对称性应该也能看懂.  $b>d$ 右端 ($\text{你的答案}$) 的依据是"三角形两边之差小于 ...

哎，还是一知半解的，好渣

不知有没有“好懂的”证明？代数证明？

Czhang271828

lemondian 发表于 2024-7-11 09:24 哎，还是一知半解的，好渣 不知有没有“好懂的”证明？代数证明？

$b>d$ 时, $A$ 比 $B$ 高. 下求 $f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b^2}-\sqrt{(x-c)^2+d^2}=|AC|-|BC|$ 的最小值.

当 $x\to -\infty$ 时, $|AC|-|BC|<0$, 因此需要求 $|BC|-|AC|=|\text{蓝线}|$ 最大值.

$$ |\text{蓝线}|=|BC|-|AC|\underset\ast\leq |BC|-\Big(|AC|\cos \varphi\Big)=|\text{紫线}|=l\cdot \cos \theta. $$

然后分析 $\varphi$ 减小时, $\theta$ 减小, 不等号 $\ast$ 两侧比值 $\frac{\text{紫线}}{\text{蓝线}}$ 趋向 $1$. 所以 $|\text{蓝线}|$ 在 $\varphi\to 0$ 时递减, 不断趋向 $l\cdot \cos\theta_\min=|a-c|$.

lemondian

Czhang271828 发表于 2024-7-11 14:49
$b>d$ 时, $A$ 比 $B$ 高. 下求 $f(x)=\sqrt{(x-a)^2+b^2}-\sqrt{(x-c)^2+d^2}=|AC|-|BC|$ 的最小值.

...

看懂了，谢谢！
再问一个小问题：
1#中（其中$a,c\inR,b,d\inR^+$）
$b,d$一定得是正实数吗？