求教一个不等式的变形

lemondian

请问一下大家，当a,b>0时
为什么这个不等式$a^6+b^6+9(ab)^3\geqslant ab(a^4+b^4)+(ab)^2(a^2+b^2)$.
可以得到如下这个不等式呀？
$\dfrac{a^6+b^6}{3}+\dfrac{a^6+b^6}{3}+\dfrac{2(ab)^3}{3}\geqslant ab(a^4+b^4)$.

kuing

第一式 9 可以改为 2

第二式直接均值即可，不需要用第一式。
`a^6+a^6+(ab)^3\geqslant 3a^5b`
`b^6+b^6+(ab)^3\geqslant 3ab^5`

kuing

原文里别人是怎么写的，最好也贴出来。

lemondian

kuing 发表于 2024-7-12 19:04
原文里别人是怎么写的，最好也贴出来。

倒数第3行到第2行，第1行没看懂，所以问问

kuing

lemondian 发表于 2024-7-12 20:24
倒数第3行到第2行，第1行没看懂，所以问问

所以我说要看原文，他意思应该是由最后两行得出倒数第3行，而不是由倒数第3行得到最后两行。

不过他也是写错了，应该是
\begin{align*}
\edr
a^6+a^6+(ab)^3&\geqslant3a^5b\\
b^6+b^6+(ab)^3&\geqslant3ab^5
\endedr
&\riff\frac23\bigl(a^6+b^6+(ab)^3\bigr)\geqslant ab(a^4+b^4)\\
\edr
a^6+(ab)^3+(ab)^3&\geqslant3a^4b^2\\
b^6+(ab)^3+(ab)^3&\geqslant3a^2b^4
\endedr
&\riff\frac13\bigl(a^6+b^6+4(ab)^3\bigr)\geqslant a^2b^2(a^2+b^2)
\end{align*}
相加得
\[a^6+b^6+2(ab)^3\geqslant ab(a^4+b^4)+a^2b^2(a^2+b^2).\]
（所以我说 9 可以改成 2）