素数无限的证明

CharlesCoburg

这个递推关系式子是怎么得出来的？
已知Fermat数$ F_n=2^{2^n}+1
\,$$\big($$n\in{N}$$\big)$,下面证明任意两个Fermat数互素，从而必有无穷多个素数，为此我们只需要证明如下递推关系：\[ \prod_{k=0}^{n-1}F_{k}=F_n -2\qquad (n \geqslant1). \]
$ 问：所以上面这个递推关系式是怎么得出来的？这是怎么想到的？ $

ic_Mivoya

只需注意到平方差公式：
$$2^{2^n}-1=(2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^{n-1}}-1)$$

CharlesCoburg

ic_Mivoya 发表于 2024-7-15 22:22
只需注意到平方差公式：
$$2^{2^n}-1=(2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^{n-1}}-1)$$

然后呢🤔

CharlesCoburg

ic_Mivoya 发表于 2024-7-15 22:22
只需注意到平方差公式：
$$2^{2^n}-1=(2^{2^{n-1}}+1)(2^{2^{n-1}}-1)$$

哦，知道了，用数学归纳🙂