简单几何题

aishuxue

在等边△ABC中,D为BC上一点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,过点C作 CF∥AB交 DE于点F, 连接AF,求证:∠CAF=∠EAF.

山川浮云

$$\angle FCA=120\du -60\du=\angle E.$$
连接$\ CE $可得等腰$\triangle ACE$，等腰$\triangle FCE$，SSS全等得证.

kuing

AE=AB=AC
∠E=∠B=60°=∠ACF
即 △AEF 和 △ACF 中，AE=AC、AF=AF、∠E=∠ACF
不过这样还不能得出这两三角形全等，因为没有 SSA 嘛

可以试试用正弦定理，有
\begin{align*}
\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AF}&\iff\frac{\sin\angle AFE}{\sin\angle E}=\frac{\sin\angle AFC}{\sin\angle ACF}\\
&\iff\sin\angle AFE=\sin\angle AFC,
\end{align*}
那就要么 `\angle AFE=\angle AFC` 要么 `\angle AFE+\angle AFC=180\du`。
前者就得到三角形全等；
而后者会得出 `E`, `F`, `C` 共线，从图形上显然不符（感觉还是不够严谨……

看来还是 2# 的方式比较好，连 `CE`，证 `FE=FC`，从而 SSS

aishuxue

kuing 发表于 2024-7-25 15:00
AE=AB=AC
∠E=∠B=60°=∠ACF
即 △AEF 和 △ACF 中，AE=AC、AF=AF、∠E=∠ACF

非常感谢，我再思考思考！！