两个向量的结论如何证明

lemondian

求教大家两个向量的结论如何证明？
结论：若点$O$是$\triangle ABC$内的任意一点，记$m_A,m_B,m_C$分别表示质点$A,B,C$处的质量，则：
（1）$m_A\cdot \vv{OA}+m_B\cdot \vv{OB}+m_C\cdot \vv{OC}=\vv{0}$；
（2）$\vv{AO}=\dfrac{m_B}{m_A+m_B+m_C}\vv{AB}+\dfrac{m_C}{m_A+m_B+m_C}\vv{AC}$。

kuing

纯属胡扯

lemondian

这个证明可以不？


如图，可得
$S_{\triangle OBC}\cdot \vv{OA}+S_{\triangle OAC}\cdot \vv{OB}+S_{\triangle OAB}\cdot \vv{OC}=\vv{0}$.（即“奔驰定理”）
由于$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\dfrac{S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle OCD}}=\dfrac{S_{\triangle ABD}-S_{\triangle OBD}}{S_{\triangle ACD}-S_{\triangle OCD}}=\dfrac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OAC}}$.
结合杠杆定理，得$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{m_C}{m_B}$.
故得$\dfrac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle OAC}}=\dfrac{m_C}{m_B}$.(*)
同理，得$\dfrac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle OAC}}=\dfrac{m_A}{m_B}$.(**)
将(*)与(**)代入$S_{\triangle OBC}\cdot \vv{OA}+S_{\triangle OAC}\cdot \vv{OB}+S_{\triangle OAB}\cdot \vv{OC}=\vv{0}$，化简得
$m_A\cdot \vv{OA}+m_B\cdot \vv{OB}+m_C\cdot \vv{OC}=\vv{0}$。

kuing

我的天，居然还一本正经的乱证一通。

什么叫“结合杠杆定理，得`\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{m_C}{m_B}`”，如果 O 移动一下，D 也动，左边就变了，右边没变，怎么可能成立？

1# 的结论用脚指头想想都知道是错的，你三个质量没限制，O 也任意，那（1）左边难道不是任意变化的？

lemondian

kuing 发表于 2024-7-25 12:45
我的天，居然还一本正经的乱证一通。

什么叫“结合杠杆定理，得`\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{m_C}{m_B}`”，如 ...

这个是别人公众号写的，他所说的“杠杆定理”是指物理上的杠杆原理

力工

lemondian 发表于 2024-7-25 13:25
这个是别人公众号写的，他所说的“杠杆定理”是指物理上的杠杆原理

k大佬一眼看穿，我还是强扯两句，这公众号发明的结论，可能说O是质心？为什么D是支点。

kuing

力工 发表于 2024-7-25 18:34
k大佬一眼看穿，我还是强扯两句，这公众号发明的结论，可能说O是质心？为什么D是支点。 ...

得看原文怎么写的，有没有提“质心”。

kuing

在平面直角坐标系 `xOy` 中，`n` 个质点的坐标及质量分别为 `M_i(x_i,y_i)` 和 `m_i`，总质量为 `M`，若点 `C` 满足
\[\sum_{i=1}^nm_i\vv{CM_i}=\bm0,\]
将 `\vv{CM_i}` 写成 `\vv{CO}+\vv{OM_i}` 上式即可写为
\[\vv{OC}=\frac1M\sum_{i=1}^nm_i\vv{OM_i},\]
所以 `C` 的坐标为
\[C\left(\frac1M\sum_{i=1}^nm_ix_i,\frac1M\sum_{i=1}^nm_iy_i\right),\]
这就是物理上的质心坐标。