锐角三角形的外接圆，能被以它三边为直径的三个圆完全覆盖

abababa

如题，锐角三角形的外接圆，能被以它三边为直径的三个圆完全覆盖。

完全没思路，要是直角或钝角三角形，就能被以最长边为直径的圆覆盖了。

kuing

不是挺显然的么，如上图，以三边为直径作圆。
由于是锐角三角形，外接圆被三顶点分成的三段弧都是劣弧，于是三角形外的三块弓形必在那三个圆内。
至于三角形的部分，作其中一条高将三角形分成左右两块，垂足在两个圆上，两块分别在两个圆内。

abababa

kuing 发表于 2024-7-30 20:57
不是挺显然的么，如上图，以三边为直径作圆。
由于是锐角三角形，外接圆被三顶点分成的三段弧都是劣弧，于 ...

原来如此，我没注意到劣弧这个性质。这样的话，对三角形$ABC$内任意一点$P$，$\angle APB,\angle BPC,\angle CPA$中有一个不小于$120^{\circ}$，不妨设$\angle APB\ge120^{\circ}$，于是$P$就在以$AB$为直径的圆内。

当$P$在一个弓形内时，不妨设$P$在$AB$所对的弓形内，根据圆内接四边形对角和为$180^{\circ}$可知$\angle APB\ge180^{\circ}-\angle ACB>90^{\circ}$，于是$P$就在以$AB$为直径的圆内。