双重参数不等式的猜想【巨难】

lihpb

前两个是简化版，后两个是加强版
变量x默认全为正数
第一和第三个不等式的变量a需要全为正数
但第二和第四个不等式的变量a不需要全为正数，只要满足任意两个变量a相加均大于0就行。

能证出n=3的情况就可以。认为不成立的可以尝试找个反例

kuing

简化版简单，第一个：因为左边
\[\sum_{0\leqslant i<j\leqslant n}(a_i+a_j)=n\sum_{i=0}^na_i,\]
移到右边，不等式变成
\[0\leqslant\left(\frac{(n+1)^2}4-n\right)\sum_{i=0}^na_i-\frac{(n+1)^2}4\cdot\frac{(n-1)^2}{\sum_{i=0}^n\frac1{a_i}},\]
化简即
\[0\leqslant\sum_{i=0}^na_i\sum_{i=0}^n\frac1{a_i}-(n+1)^2,\]
柯西显然。

第二个：左边是没有 xixj 的吧？去掉 xixj 那就和第一个是一样的。

加强版不会。（三、四也是等价的）

lihpb

第二个式写错了。
严格来说，三和四不算等价，四更强（变量a允许最多出现一个为0或负数，只要任意两个变量a相加大于0就行，即左边每个求和项均为正数）

lihpb

kuing 发表于 2024-8-1 16:31
简化版简单，第一个：因为左边
\[\sum_{0\leqslant i<j\leqslant n}(a_i+a_j)=n\sum_{i=0}^na_i,\]
移到右 ...

加强版的不等式右边就是用这个行列式变形出来的
forum.php?mod=viewthread&tid=12564
但是我无论怎么手工计算所算出的R都是错的，正确的R是我靠猜出来的。
你帮我看看能不能把这行列式里面的R解出来，运算量太复杂