二次函数的图像

nttz

若二次函数的$f(x)=ax^2+bx+c$，其图像上的三个点的$x_1<x_2<x_3$,并且$f(x_2) < f(x_1) ,f(x_2)< f(x_3)$,显而易见函数图像
是开口向上的($a> 0$)，且对称轴位于$x_1,x_3$之间，能否给出相应的代数证明 ？

kuing

`f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(ax_1+ax_2+b)>0\riff a(x_1+x_2)+b<0`,
`f(x_3)-f(x_2)=(x_3-x_2)(ax_3+ax_2+b)>0\riff a(x_3+x_2)+b>0`,
所以有 `a(x_3+x_2)+b>a(x_1+x_2)+b\iff a(x_3-x_1)>0\iff a>0`。

假设对称轴在 `(x_1,x_3)` 以外，由在 `[x_1,x_3]` 上单调，要么 `f(x_1)>f(x_2)>f(x_3)` 要么 `f(x_1)<f(x_2)<f(x_3)`，都不满足，所以。