证明：双曲线中的倍角关系

lemondian

已知双曲线$C:x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$的左右焦点分别为$F_1,F_2$，左顶点为$A$。直线$MN$过点$F_2$且与$C$的右支交于点$M,N$，点$Q$为$\triangle F_1MN$内切圆(圆$P$)与$C$的一个公共点（点$P,Q$位于$x$轴的异侧）。
证明：$\angle APQ=2\angle QPF_2$.

Czhang271828

这个题目和圆锥曲线没什么关系. 将圆心角转化作圆周角, 只需证明圆内接三角形满足 $2\angle QAF_2= \angle QF_2A$.

此时扔掉所有条件, 只需证明双曲线右支上的任意点 $Q(t,\sqrt{3t^2-3})$ 满足 $2\angle QAF_2= \angle QF_2A$. 也就是证明
$$
\tan2\theta=\frac{\sqrt{3t^2-3}}{2-t},\quad \tan\theta =\frac{\sqrt{3t^2-3}}{t+1}.
$$
验证倍角公式,
$$
\frac{2\frac{\sqrt{3t^2-3}}{t+1}}{1-\frac{{3t^2-3}}{(t+1)^2}}=\frac{2(t+1)\sqrt{3t^2-3}}{-2t^2+2t+4}=\frac{\sqrt{3t^2-3}}{2-t}.
$$


或者反过来, 证明满足 $2\angle QAF_2= \angle QF_2A$ 的点 $Q(x,y)$ 属于双曲线右支.
\begin{align*}
&\frac{2\frac{y}{x+1}}{1-(\frac{y}{x+1})^2}=\frac{y}{2-x}\\[6pt]
\Leftrightarrow \quad &\frac{2(x+1)}{(x+1)^2-y^2}=\frac{1}{2-x}\\[6pt]
\Leftrightarrow \quad &\frac{x+1}{2}-\frac{y^2}{2(x+1)}=2-x\\[6pt]
\Leftrightarrow \quad &\frac{3x-3}{2}-\frac{y^2}{2(x+1)}=0\\[6pt]
\Leftrightarrow \quad &y^2=3x^2-3.
\end{align*}

其妙

老题了! e=2的性质：
参见《2021年八省联考数学题的多种方法集锦（不少题目用了4种到9种的方法，值得收藏、不容错过！）》
mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzIxMDYxMDMxOQ==&mid=2247486915& ... e6a83e6c2b274e01d#rd