函数不等式

nttz

下凸函数的定义：$f(\dfrac{x_1+x_2}{2})<\dfrac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$恒成立，则称$f(x)$为正凸函数，已知$f(x)$为正凸函数
证明：$f[b x_1+(1-b) x_2]<b f(x_1)+(1-b) f(x_2)$
(1)在$ b= \dfrac{1}{3}$ 成立
(2)在b何时命题成立？

kuing

（1）由条件得
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+\frac{x_3+x_4}2}2 \right) \\
& <\frac12f\left( \frac{x_1+x_2}2 \right)+\frac12f\left( \frac{x_3+x_4}2 \right) \\
& <\frac14f(x_1)+\frac14f(x_2)+\frac14f(x_3)+\frac14f(x_4),\quad(*)
\end{align*}
在此式中令
\[x_4=\frac{x_1+x_2+x_3}3,\]
此时有
\[\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4=\frac{x_1+x_2+x_3}3,\]
于是式 (*) 化为
\[f\left( \frac{x_1+x_2+x_3}3 \right)<\frac14f(x_1)+\frac14f(x_2)+\frac14f(x_3)+\frac14f\left( \frac{x_1+x_2+x_3}3 \right),\]
化简即得
\[f\left( \frac{x_1+x_2+x_3}3 \right)<\frac13f(x_1)+\frac13f(x_2)+\frac13f(x_3),\]
此时再令 `x_3=x_2` 即得 `b=1/3` 时的不等式。

（2）对 `b\inQ` 且 `0<b<1` 成立。

理由：仿（1）可先推出 `n=2^k` 时
\[f\left( \frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n \right)<\frac1nf(x_1)+\frac1nf(x_2)+\cdots+\frac1nf(x_n),\quad(**)\]
通过代换
\[x_n=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_{n-1}}{n-1},\]
可知由 `n` 成立能推出 `n-1` 也成立，于是由反向归纳法知式 (**) 对所有正整数 `n` 成立，那么对于任意小于 `n` 的正整数 `m`，令 `x_1=x_2=\cdots=x_m=x`, `x_{m+1}=x_{m+2}=\cdots=x_n=y`，式 (**) 就变成
\[f\left(\frac mnx+\frac{n-m}ny\right)<\frac mnf(x)+\frac{n-m}nf(y).\]

nttz

kuing 发表于 2024-8-15 23:02
（1）由条件得
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+ ...

是不是有点类似柯西方法证明不等式？

nttz

kuing 发表于 2024-8-15 23:02
（1）由条件得
\begin{align*}
f\left( \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}4 \right)&=f\left( \frac{\frac{x_1+x_2}2+ ...

如果f在R上连续，那么如何正确的书写这个过程的对于任意的b属于实数也成立呢