直和与直积有什么区别？

hbghlyj

在Wikipedia出现了${\displaystyle \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /n_{k}\mathbb {Z} }$
我想问，这里的直积能不能改成直和？

hbghlyj

Z/6Z = {0,1,2,3,4,5} 是 {0,2,4} 和 {0,3} 的直和，因为每个元素都唯一表成来自两个集合的元素的和：
0 = 0 + 0 mod 6
1 = 4 + 3 mod 6
2 = 2 + 0 mod 6
3 = 0 + 3 mod 6
4 = 4 + 0 mod 6
5 = 2 + 3 mod 6

hbghlyj

mathphysicsbook.com/mathematics/abstract-algebra/combining-algeb ... duct-and-direct-sum/
The direct sum is identical to the direct product except in the case of an infinite number of factors, when the direct sum $⨁A_μ$ consists of elements that have only finitely many non-identity terms, while the direct product $∏A_μ$ has no such restriction.

无穷乘积的情况是有区別的
math.stackexchange.com/a/1938198/
$⨁_{i\inN}\mathbb Z$ 和 $\prod_{i\inN}\mathbb Z$ 有什么区別？在$⨁_{i\inN}\mathbb Z$中只有有限个不为0的坐标。那么 $⨁_{i\inN}\mathbb Z$ 包含于 $\prod_{i\inN}\mathbb Z$ 吗？

hbghlyj

Bourbaki的书 Algebra I (multilinear algebra, 1948).第202页（§1.6）：

hbghlyj

我明白了。$\coprod$就是说，如果对每个 $i$ 有一个映射 $f_i\colon X_i \to Z$，就能合并成一个映射 $f\colon\coprod_{i \in I} X_i \to Z$
假设$X_i=Z$，对每个 $i$ 有一个映射 $f_i\colon X_i \to Z$，然后只能在序列上定义$f$为
$$f(x_1,x_2,\dots)=\sum_if_i(x_i)$$
只能在有限个非零的序列$(x_1,x_2,\dots)$上定义，否则右边可能是$\infty$. 所以$\coprod_{i \in I} X_i$是有限个非零的序列的集合.

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直和与直积的区別：要说明$\prod_{i \in I} X_i$不满足上面的定义：例如$(x_1,x_2,\dots)$全是$1$，对每个 $i$ 给一个映射 $f_i(1)=1$，那么右边$\sum_if_i(x_i)=\sum_i1=\infty$，所以不能定义$f\colon\prod_{i \in I} X_i \to Z$