能用权方和不等式证明这个不等式吗

lemondian

请问：能用权方和不等式证明这个不等式吗？
已知$x_1,x_2,\cdots ,x_n$为正实数，且$x_1+x_2+\cdots +x_n=1,m\geqslant 2,m\inN^*$，证明：$\dfrac{x_1}{(1-x_1)^m}+\dfrac{x_2}{(1-x_2)^m}+\cdots +\dfrac{x_n}{(1-x_n)^m}\geqslant (\dfrac{n}{n-1})^m$。

kuing

\begin{align*}
\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{(1-x_i)^m}&\geqslant\frac1n\sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^n\frac1{(1-x_i)^m}\quad(\text{切比雪夫})\\
&\geqslant\frac1n\cdot\frac{(1+\cdots+1)^{m+1}}{\bigl(\sum(1-x_i)\bigr)^m}\quad(\text{权方和})\\
&=\frac{n^m}{(n-1)^m}.
\end{align*}

lemondian

kuing 发表于 2024-9-3 16:19
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n\frac{x_i}{(1-x_i)^m}&\geqslant\frac1n\sum_{i=1}^nx_i\sum_{i=1}^n\frac1{( ...

这样：
$\dfrac{x_i}{(1-x_i)^m}=\dfrac{1}{(1-x_i)^m}-\dfrac{1}{(1-x_i)^{m-1}}$.

然后分别用权方和，行不？

kuing

lemondian 发表于 2024-9-3 16:27
这样：
$\dfrac{x_i}{(1-x_i)^m}=\dfrac{1}{(1-x_i)^m}-\dfrac{1}{(1-x_i)^{m-1}}$.

不知道，自己的想法请自行走下去。

lemondian

再来一个相似题：
已知$x_1,x_2,\cdots ,x_n（n\geqslant 2)$为正实数，且$x_1+x_2+\cdots +x_n=1,m\geqslant 2,m\inN^*$，证明：$\dfrac{x_1^{\dfrac{m-2}{m-1}}}{1-x_1}+\dfrac{x_2^{\dfrac{m-2}{m-1}}}{1-x_2}+\cdots +\dfrac{x_n^{\dfrac{m-2}{m-1}}}{1-x_n}\geqslant \dfrac{n^2}{n-1}(\dfrac{1}{n})^{\dfrac{m-2}{m-1}}$。

kuing

lemondian 发表于 2024-9-3 16:35
再来一个相似题：
已知$x_1,x_2,\cdots ,x_n（n\geqslant 2)$为正实数，且$x_1+x_2+\cdots +x_n=1,m\geqslant 2,m\inN^*$，证明：$\dfrac{x_1^{\dfrac{m-2}{m-1}}}{1-x_1}+\dfrac{x_2^{\dfrac{m-2}{m-1}}}{1-x_2}+\cdots +\dfrac{x_n^{\dfrac{m-2}{m-1}}}{1-x_n}\geqslant \dfrac{n^2}{n-1}(\dfrac{1}{n})^{\dfrac{m-2}{m-1}}$。

请勿滥用 \dfrac