求证不等式

lihpb

\[\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right) \leq\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i^2\right)\]\[
\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{\sum_{i=1}^n x_i} \leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i^2}{\sum_{i=1}^n y_i^2}
\]
这叫什么不等式，怎么证明，取等条件是什么，以前见过现在不记得了

kuing

n=2 就不成立了，`(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(a+b)(ac^2+bd^2)=(a-b)(ad^2-bc^2)` 可正可负。

lihpb

kuing 发表于 2024-9-3 17:09
n=2 就不成立了，`(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(a+b)(ac^2+bd^2)=(a-b)(ad^2-bc^2)` 可正可负。

忘记写条件了，条件是n=3以上，而且每个变量y均小于等于其余的变量y之和
所有变量均为正

kuing

lihpb 发表于 2024-9-3 17:28
忘记写条件了，条件是n=3以上，而且每个变量y均小于等于其余的变量y之和
所有变量均为正 ...

那我让所有 yi 全为 1，就变成 `n\sum x_i^2\le(\sum x_i)^2`，也是反向的。

lihpb

kuing 发表于 2024-9-3 17:31
那我让所有 yi 全为 1，就变成 `n\sum x_i^2\le(\sum x_i)^2`，也是反向的。

谢谢，麻烦在帮我看一下这个能不能证出来
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