霍普夫纖維化

hbghlyj

• 霍普夫纖維化 I（HopfFibration I）
• 霍普夫映射纖維及點的對應（PointsFibers in HopfFibration I)

这 2 个 YouTube 视频是 1 个月前由 數學算板（mathboard.tw） 上传的
我觉得这个视频不错😀我将视频中的文字粘贴到这里：

$S^n=\Set{x \inR^{n+1} |\Vert x\Vert=1}$, 其中 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, x_{n+1}\right) \inR^{n+1}$,
$$
\|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2+x_{n+1}^2}\quad, \quad S^n \subset\Bbb R^{n+1}
$$
設 $h: S^3 \rightarrow S^2, h(a, b, c, d)=(2(a c+b d), 2(b c-a d), a^2+b^2-c^2-d^2)$, 其中 $a^2+b^2+c^2+d^2=1$.
$h$ 稱為霍普夫映射（Hopf map）。霍普夫映射有下列性質 (Hopf 1935, Pinkall 1985):

• $h$ 為連續的滿射。
• 若 $(x, y, z) \in S^2$, 則 $h^{-1}(x, y, z)$ 是 $S^3$ 的大圆, 稱為霍普夫纖維 (Hopf fiber)。
• 任意兩纖維都不相交, 是鏈结（linked）且平行的（parallel）。
• 所有的纖維的聯集, 就是 $S^3$ 。
• 設 $\Gamma$ 为 $S^2$ 上的任意封閉曲缐（closed curve）, 則 $h^{-1}(\Gamma)$ 为 $S^3$ 中的霍普夫環面 (Hopf torus)。

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	Fibration
	Fibration continued

https://www.dimensions-math.org/Dim_CH7_ZH_si.htm
“Dimensions”是一个系列科普短片，在各种视频网站上都可以容易地找到，其中使用大量直观的图象和动态视频演示了几何学的许多研究对象。它的第7、8两集解释了纤维丛和Hopf纤维化的构造。😀

回想：若设 \(X\) 与 \(Y\) 为两集合，则一个由 \(X\) 到 \(Y\) 的一个映射(map) \(f\)，又常记为 \(f : X → Y\)，就是一条可让我们将 \(X\) 内之点 \(x\) 和 \(Y\) 内之点 \(f(x)\) 之间建立关系的规则。
例：考虑 Hopf 映射 \(f : S^3\) → \(S^2\)。它建立了一点 \((z_1,z_2)\) 与点 \(z_2/z_1\) 之间的关系。
关于这点有两个解释：
第一，\(S^3\) 上的一点就是二维复平面上的一点，而可以被其复坐标 \((z_1,z_2)\) 所描述。
第二，我们藉由球极投影可以看到，若于平面添加一无穷远点(point at infinity)，则我们就可以得到一个 \(S^2\) 球面。而当然，复数 \(z_2/z_1\) 只有在 \(z_1\) 之值不为零的情况下方属定义良好(well defined)的，若 \(z_1\) 值为零，则我们就把 \(z_2/z_1\) 定为无穷远点。所以 \(z_2/z_1\) 实可定义出 \(S^2\) 上之一点。
对于 \(S^2\) 上每一点 \(a\)，于 \(S^3\) 内使得在 \(f\) 下的像(image)为 \(a\) 的点集（即 \(a\) 之原像［pre-image］），是 \(S^3\) 内的一个圆。我们称此点集为 \(a\) 上的纤维(fiber)。这与上述解释之关联就是：所有在一条线 \(z_2= a.z_1\)上的点皆使得 \(z_2/z_1\) 为常量（这很明显，因为它根本就等于 \(a\) ！）。

三、纤维丛

影片先请我们仔细观察这个「纤维丛」。每个 \(a\) 值皆对应到一在 \(S^3\) 内之圆。我们要怎么将其加以具象化呢？当然是靠球极投影法了！我们由 \(S^3\) 投影至接于投影极点对面的极点之三维切空间上。此投影是空间内的一个圆。您可以好好地欣赏它（别忘了那些蜥蜴！）。当然，这个 \(S^3\) 上的圆有可能正经过北极点，因而造成其球极投影呈一直线（即少了一个点的圆……那个点已经跑到无穷远处了！）。

几个序列阐明了此纤维丛： 首先，我们只看到一个 Hopf 圆。它与 a 值相对应。这个点 a 在 \(S^2\) 上移动（请记得：它是一个加上了一无穷远点的复平面），而我们就看到此圆在空间中移动，不时地当在 a 通过无穷远点时变成一直线。 然后，我们看到了两个正同时移动的 Hopf 圆。它们与两个 a 值相对应。您可以在屏幕底部看到两个正在移动的 a 点，而此二圆也同时跟着移动。顺便一提，请注意：这两个圆是像铁链般地互相链结在一起的。我们不能在不扯断它们的情况下将它们分开。 然后，我们看到了三个舞动中的 Hopf 圆。它们与三个 a 值对应……这些圆时而疏离、时而凑近……。

最后，我们同时看到了一大堆 Hopf 圆。a 值被随机地选定而出，而相对应的圆就陆续跟着出现。我们就可以「看」到空间中充满了圆，而这些圆并不相交。我们也终于可以了解「纤维丛」这个词的来源了： 所有的圆都互相交织在一起，就像是织物的纤维一般：由局部上看来，它们整齐的像一束面条。当初以 Hopf 映射为原形发展而成的纤维丛之概念，已成为了拓扑学与数理物理(mathematical physics)中的一个核心概念。有些纤维丛更为复杂，存在于更高维的空间之中，但对这个历史性的例子能有一个清楚的观念无疑是深具启发意义的！ 把实平面想成复数直线固然有用，但将实四维空间想成复二维平面更是有用多了！

五、Hopf 与同伦

\(S^1\) 与 \(S^1\) 之间的一个映射就等效于将圆上的一点变换为圆上的另一点：某种程度上，这就是圆上的一条曲线。这种映射有一个度数(degree)： 即该映像所绕行的完整圈数。例，常值映射完全不会绕行：它的度数是0。将每一点送至自身之处的恒等映射(identity map)理所当然地是绕行了一周；它的度数是1。把任何模为1的复数都送至其平方的映射将把幅角乘以二。故，若绕行圆一周，则平方映射就会绕行两圈：它的 度数是2。当一映像受到形变时，它的度数并不会改变，因此，在所有由 \(S^1\) 到 \(S^1\) 的映像中，存在着无法被形变为常值映射的映射……要看得出两个度数相同的映射是可以各自形变成对方的，则稍加困难。

       
但是 \(S^2\) 与 \(S^2\) 之间的映射又是如何呢？与 \(S^1\) 到 \(S^1\) 的情况相似地，我们亦可定义出一个度数，即使问题已不再是要数出「圈数」了：现在问题在于要数出 \(f\) 之像「覆盖」球面的次数多寡，而这并不容易定义。最简单的例子是恒等映射：任一点皆被该映射送至原处：它的度数是1。我们可猜想：\(S^2\) 上的恒等映射，是无法在不把球扯断的情形下，被形变成常值映射的。但是还是要有办法证明才行！

Heinz Hopf 在1931年时证明了这个惊人的事实：某些由 \(S^3\) 到 \(S^2\) 的映射是不能被连续形变成常值映射的。当然，他举出的例子就是我们才刚认识的纤维丛。

每对纤维都是互相链结在一起的特质就是使得 Hopf 映射 \(f : S^3→ S^2\) 无法被形变为一常值映射的关键。要给出一个具有说服力的理由还需要一个颇为冗长的解释！这本书 里给出了一个完整却艰涩的阐述，或可于 Hopf 的 原版论文 中找到一个证明，与其它许多细节。

hbghlyj

也可以参考纤维丛和Hopf纤维化 高挺然
2 Hopf 纤维化
1. Hopf 映射 $S^3 \longrightarrow S^2$

将球面 $S^3$ 和 $S^2$ 按如下方式参数化：
\begin{aligned}
& S^3=\left\{\left(x^1, x^2, x^3, x^4\right) \in \mathbb{R}^4 \mid\left(x^1\right)^2+\left(x^2\right)^2+\left(x^3\right)^2+\left(x^4\right)^2=1\right\} \\
& S^2=\left\{\left(\xi^1, \xi^2, \xi^3\right) \in \mathbb{R}^3 \mid\left(\xi^1\right)^2+\left(\xi^2\right)^2+\left(\xi^3\right)^2=1\right\}
\end{aligned}Hopf 犀利地指出, $S^3$ 是 $S^2$ 上以 $\mathrm{U}(1)$ 为纤维的一个丛。 $\mathrm{U}(1)$ 即是 $S^1$, 因此 $S^3$ 即是 "the fibering of spheres by spheres"的一个最简单的非平凡的例子。（将 $S^1$ 看作以 $S^1$ 为底空间、以 $S^0$ 为纤维的丛，我们就看到了一个平凡的例子。）

为 $\mathbb{R}^4$ 引入复坐标 $z^0=x^1+\mathrm{i} x^2, z^1=x^3+\mathrm{i} x^4$, 则 $S^3$ 可以写成
$$
S^3=\Set{\left(z^0, z^1\right) \in \mathbb{C}^2|\vert z^0\vert^2+\vert z^1\vert^2=1}
$$
定义Hopf映射 $h: S^3 \longrightarrow S^2$ 如下:
\begin{aligned}
& \xi^1=2\left(x^1 x^3+x^2 x^4\right)=z^0 \overline{z^1}+\overline{z^0} z^1=2 \operatorname{Re} z^0 \overline{z^1} \\
& \xi^2=2\left(x^2 x^3-x^1 x^4\right)=-i\left(z^0 \overline{z^1}-\overline{z^0} z^1\right)=2 \operatorname{Im} z^0 \overline{z^1} \\
& \xi^3=\left(x^1\right)^2+\left(x^2\right)^2-\left(x^3\right)^2-\left(x^4\right)^2=\left|z^0\right|^2-\left|z^1\right|^2
\end{aligned}
容易验证 $h$ 确实将 $S^3$ 映成 $S^2:$
$$
\left(\xi^1\right)^2+\left(\xi^2\right)^2+\left(\xi^3\right)^2=\left[\left(x^1\right)^2+\left(x^2\right)^2+\left(x^3\right)^2+\left(x^4\right)^2\right]^2=1
$$
而且容易验证 $h$ 是满射。这个映射 $h$ 就是我们要找的从丛空间 $S^3$ 到底空间 $S^2$ 的投影。

为构造坐标函数, 首先考虑 $S^2$ 的球极投影。取 $U_N$ 为 $S^2$ 的上半球面与赤道的并,取 $U_S$ 为 $S^2$ 的下半球面与赤道的并, 则 $U_N \cup U_S=S^2, U_N \cap U_S$ 为赤道。在赤道平面上装备复坐标, 则 $\forall \xi \in U_S$, 可以考虑北极与 $\xi$ 的连线与赤道平面的交点 (我们考虑这种球极投影, 因为我们希望所得到的投影坐标在单位圆内), 其复坐标为
$$
Z=\frac{\xi^1+\mathrm{i} \xi^2}{1-\xi^3}=\frac{z^0 z^{-1}}{\left|z^1\right|^2}=\frac{z^0}{z^1}
$$
注意到对任意 $\lambda \in \mathrm{U}(1)=S^1, Z$ 在旋转 $\left(z^0, z^1\right) \mapsto\left(\lambda z^0, \lambda z^1\right)$ 上不变, 而且 $\frac{z^0}{z^1}$ 在此球极投影下的原像都是形如 $\left(\lambda z^0, \lambda z^1\right)$ 的点, 因此纤维即是 $S^1$ ! 又由于 $|\lambda|=$ $1,\left(\lambda z^0, \lambda z^1\right) \in S^3$, 可见每条纤维都是 $S^3$ 上的大圆。类似地, $\forall \zeta \in U_N$
$$
Z=\frac{\zeta^1-\mathrm{i} \zeta^2}{1-\zeta^3}=\frac{\overline{z^0} z^1}{\left|z^0\right|^2}=\frac{z^1}{z^0}
$$
在赤道 $U_N \cap U_S$ 上，坐标变换为 $z \mapsto \frac{1}{z}$ 。
借助球极投影, 下面可以给出 $S^3$ 作为 $S^2$ 上纤维丛的坐标函数:
\begin{aligned}
\phi_S^{-1}: h^{-1}\left(U_S\right) & \longrightarrow U_S \times S^1 \\
\left(z^0, z^1\right) & \longmapsto\left(\frac{z^0}{z^1}, \frac{z^1}{\left|z^1\right|}\right) \\
\phi_N^{-1}: h^{-1}\left(U_N\right) & \longrightarrow U_N \times S^1 \\
\left(z^0, z^1\right) & \longmapsto\left(\frac{z^1}{z^0}, \frac{z^0}{\left|z^0\right|}\right)
\end{aligned}赤道上 $\xi^3=0,\left|z^0\right|=\left|z^1\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$, 对每个固定的 $\frac{z^0}{z^1} \in U_S \cap U_N, \phi_N$ 与 $\phi_S$ 相差一个坐标变换
$$
t_{N S}(\xi)=\frac{\sqrt{2} z^0}{\sqrt{2} z^1}=\frac{z^0}{z^1} \in \mathrm{U}(1)=S^1
$$
因此丛结构群即是 $S^1$ 。我们可以验证以上构造满足坐标丛定义的所有要求,而且纤维和丛结构群都是 $S^1$ 。这即是说 $S^3$ 不但是 $S^2$ 上以 $S^1$ 为纤维的一个纤维丛，而且是一个主丛！

hbghlyj

hbghlyj 发表于 2024-9-10 04:54
链结在一起的特质就是使得 Hopf 映射 \(f : S^3→ S^2\) 无法被形变为一常值映射的关键。要给出一个具有说服力的理由还需要一个颇为冗长的解释！这本书 里给出了一个完整却艰涩的阐述

证明在哪里？我在书里搜索过，但没有找到