前 $n$ 个质数的整系数组合是否包含长为 $p_{n+1}$ 的区间?

Czhang271828

回 @睡神 的问题.

北京时间的昨天傍晚, 睡神问了一道题 (猜想):

证明或给出反例: 任意连续 $p_{n+1}-1$ 个正整数中, 至少存在一个整数, 使得其均不能被任意一个 $p_i$ ($0<i<n+1$) 整除.

我偏向构造反例. 实际上确实有反例, 构造见一楼的解答.

Czhang271828

反例构造如下: 考虑质数集 $S=\{2,3,5,7,11,13,17\}$, 今断言存在 $n\in \mathbb N$ 使得有反例 $\{n+i\}_{i=1}^{18}$​​.

作以下表格:
$$
\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\7&8&9&10&11&12\\13&14&15&16&17&18\end{pmatrix},
$$
其中, $k$ 表示数 $n+k$. 记号 $\boxed k$ 表示 $k$ 被某个 $p\in S$ 整除.

先考虑 $p=2$, 则左图等价于右方程
$$
\begin{pmatrix}1&\boxed2&3&\boxed4&5&\boxed6\\7&\boxed8&9&\boxed{10}&11&\boxed{12}\\13&\boxed{14}&15&\boxed{16}&17&\boxed{18}\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad  (n\equiv 0\mod 2).
$$
在以上基础上, 继续构造
$$
\begin{pmatrix}\boxed1&\boxed2&3&\boxed4&5&\boxed6\\\boxed7&\boxed8&9&\boxed{10}&11&\boxed{12}\\\boxed{13}&\boxed{14}&15&\boxed{16}&17&\boxed{18}\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad  (n\equiv -1\mod 3),
$$
在以上基础上, 继续构造
$$
\begin{pmatrix}\boxed1&\boxed2&3&\boxed4&\boxed 5&\boxed6\\\boxed7&\boxed8&9&\boxed{10}&11&\boxed{12}\\\boxed{13}&\boxed{14}&\boxed{15}&\boxed{16}&17&\boxed{18}\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad  (n\equiv 0\mod 5),
$$
在以上基础上, 继续构造
$$
\begin{pmatrix}\boxed1&\boxed2&\boxed 3&\boxed4&\boxed 5&\boxed6\\\boxed7&\boxed8&9&\boxed{10}&11&\boxed{12}\\\boxed{13}&\boxed{14}&\boxed{15}&\boxed{16}&\boxed{17}&\boxed{18}\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad  (n\equiv -3\mod 7),
$$
在以上基础上, 继续构造 (为方便解同余方程, 余数取前文出现过的)
$$
\begin{pmatrix}\boxed1&\boxed2&\boxed 3&\boxed4&\boxed 5&\boxed6\\\boxed7&\boxed8&9&\boxed{10}&\boxed{11}&\boxed{12}\\\boxed{13}&\boxed{14}&\boxed{15}&\boxed{16}&\boxed{17}&\boxed{18}\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad  (n\equiv 0\mod 11),
$$

在以上基础上, 继续构造
$$
\begin{pmatrix}\boxed1&\boxed2&\boxed 3&\boxed4&\boxed 5&\boxed6\\\boxed7&\boxed8&\boxed 9&\boxed{10}&\boxed{11}&\boxed{12}\\\boxed{13}&\boxed{14}&\boxed{15}&\boxed{16}&\boxed{17}&\boxed{18}\end{pmatrix}\quad \Leftrightarrow\quad  (n\equiv -9\mod 13).
$$
以上的同余方程组
$$
\begin{cases}
(n+0)&\equiv 0\mod{(2\cdot 5\cdot 11)},\\[6pt]
(n-4)&\equiv 0\mod{(7\cdot 13)},\\[6pt]
(n+1)&\equiv 0\mod{3}.\end{cases}
$$
直接求解, 前两式表明 $n=110k=91t+4$, 取 $n=550+91\cdot 110 d$. 结合最后式, 取 $d=2$. 此时 $n=20570$.

检验,
$$
\begin{bmatrix}20571&20572&20573&20574&20575&20576\\20577&20578&20579&20580&20581&20582\\20583&20584&20585&20586&20587&20588\end{bmatrix},
$$
各分量有因子
$$
\begin{bmatrix}3&2&7&2&5&2\\3&2&13&2&11&2\\3&2&5&2&7&2\end{bmatrix}.
$$

睡神

Czhang271828 发表于 2024-9-10 14:17
反例构造如下: 考虑质数集 $S=\{2,3,5,7,11,13,17\}$, 今断言存在 $n\in \mathbb N$ 使得有反例 $\{n+i\}_{ ...

如果在不大于$p^2_{n+1}$的范围内呢？