min的最大值

v6mm131

已知实数 $x, y, z \in[0,1]$，记 $M=\min \{x-x y-x z+y z, y-y x-y z+x z, z-z x-z y+x y\}$求 $M$ 可能的最大值．

Czhang271828

视 $x,y$ 为常数, 则上述是三个关于 $z$ 的一次函数, 最小值的最大值在边界或两项相等时取到. 计算
$$
(x-xy-xz+yz)-(y-yx-yz+xz)=(2z-1)(y-x),
$$
依对称性, 只需讨论: (1) $x=y=z$; (2) $x=y$; (3) $x=0$; (4) $x=1/2$; (5) $x=1$ 几种情况. 这些情况可能有重复, 但一定不会遗漏.

(1) 化简并计算得 $\max(x-x^2)=1/4$.

(2) 化简得 $\max\min(x-x^2,z-2xz+x^2)$. 这无非 (1) 中的 $(x-x^2)$ 换成不会更大的 $\min(x-x^2,z-2xz+x^2)$. 所以 (2) 不大于 (1).

(3) 化简得 $\max\min(yz,y-yz,z-yz)$. 不妨设 $y\geq z$, 此时 $\max\min(yz,(1-y)z)=\max (z\min(y,1-y))$.

​        (3-1) $z\leq 1/2$ 时, 取 $y=1/2$, 原式为 $\max (z/2)= 1/4$. 取等 $(x,y,z)=(0,1/2,1/2)$;

​        (3-2) $z\geq 1/2$ 时, 取 $y=z$, 原式为 $\max(z(1-z))=1/4$. 取等 $(x,y,z)=(0,1/2,1/2)$.

(4) 化简得 $\frac 12\max\min(2yz-y-z+1,y+z-2yz)$. 左式减右式得 $(2y-1)(2z-1)$. 此时不当设 $y\geq z$, 讨论如下.

​        (4-1) $y\geq z\geq 1/2$, 则 $\frac{1}{2}\max(y+z-2yz)$ 只可能在端点 $z=1/2$, $y=1$, $y=z$ 三处得到, 计算得 $\frac{1}{2}\max(1/2,1-z,2z-2z^2)=1/4$​. 取等条件略.

​        (4-2) $y\geq 1/2\geq z$, 则 $\frac 12\max(2yz-y-z+1)$ 在只可能在四个端点取到, 计算得 $\frac 12\max(1/2,0)=1/4$, 取等条件略.

​        (4-3) $1/2\geq y\geq z$, 式 $y+z-2yz$ 关于换元 $(y,z)\mapsto (1-y,1-z)$ 对称, 从而回到 (4-1).

(5) 式 $x-xy-xz+yz$ 关于换元 $(x,y,z)\mapsto (1-x,1-y,1-z)$ 对称, 从而回到 (3).

kuing

楼主其实之前在群里已经转过一个证明，只是没理解，我后来看了下，那证明其实没问题，只是写得不够好，精简后如下：

由对称性不妨设 `1\ge x\ge y\ge z\ge0`，则
\[M\le y-yx-yz+xz=(y-x)(y-z)+y(1-y)\le y(1-y)\le\frac14,\]
当 `x`, `y`, `z` 中的两个为 `1/2` 时 `M=1/4`，所以这就是最大值。