类似于$\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{a}{1+c+ca}$的条件分式化简

郝酒

原题是：$abc=1$，求证$\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=1$.
可以通过后两项分子分母同时乘$a$和$ab$的方式化简，也可以通过消$c$，得到关于$a,b$的式子来求解.
想问一下还有没有别的看的方式.
这个结论在单壿的书里有讲，$abc=1$这个条件是充要条件.
我印象中还有一个类似的等式：和分子的次数有关，一次的时候是一个结果，其他次的都是零.大虾们能不能给一个这个结论的链接.
另外，像这样的条件分式化简题，有没有一个汇总的资料。

kuing

原题可推广到 n 元，见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=10897#pid53595 的 3# 的折叠内容。

kuing

至于你另外提到的

我印象中还有一个类似的等式：和分子的次数有关，一次的时候是一个结果，其他次的都是零.大虾们能不能给一个这个结论的链接.

你印象中的分母是不是 (a-b)(a-c) 之类的？

郝酒

好像是的，翻不到在哪看到的了。

kuing

郝酒 发表于 2024-9-30 14:30
好像是的，翻不到在哪看到的了。

那是不是用拉格朗＊＊值公式搞出来的呀？

类似于这样：函数 `f(x)=x` 在 `x=a`, `b`, `c` 处用拉格朗有
\[f(x)=\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}f(a)+\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}f(b)+\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}f(c),\]
比较二次项系数即得恒等式
\[\frac a{(a-b)(a-c)}+\frac b{(b-a)(b-c)}+\frac c{(c-a)(c-b)}=0.\]

郝酒

kuing 发表于 2024-9-30 15:22
那是不是用拉格朗＊＊值公式搞出来的呀？

类似于这样：函数 `f(x)=x` 在 `x=a`, `b`, `c` 处用拉格朗有

这个智能屏蔽＊＊好高级：）
我推一下，如果把它换成$x^n$试一下，看有没有简洁的结论.
ku版没有印象就先放下，我也模模糊糊的。等我找到了原版，发到这里。

kuing

郝酒 发表于 2024-9-30 17:04
这个智能屏蔽＊＊好高级：）
我推一下，如果把它换成$x^n$试一下，看有没有简洁的结论.
ku版没有印象就先 ...

不是智能，是我手工打的星号，自我审查😁……
（比如在 zhihu.com/question/484757364/answer/2103436640 里我也是这样写😁……

换高次的结论不简单，应该不是你 1# 说的其他是零。