求证双曲线中的两个结论

lemondian

已知：双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1,A_1=(-a,0),A_2=(a,0),R=(r,0)(r>a)$，过点$R$的直线与双曲线交于$M,N$两点，直线$A_1M$和直线$A_2N$交于点$P$，直线$A_1N$和直线$A_2M$交于点$Q$。
求证：$x_p=x_Q=\dfrac{a^2}{r}且\vv{PR}\cdot \vv{QR}=\dfrac{(r^2-a^2)(r^2-a^2-b^2)}{r^2}$。

另外：（1）椭圆与抛物线有没有类似的结论？
（2）有没有更一般的结论？（如$A_1，A_2$不是双曲线的顶点时 ）

abababa

点$R$的极线就是$PQ$，而$R$在主轴上，这样的话极线就和主轴垂直，所以$P,Q$的横坐标相等。对一般的圆锥曲线也都成立。
$A_1,A_2$不是顶点时，那些数量关系就不好办了，因为射影变换里只能保持交比不变。