[python] 检验不等式$\min,\max$

hbghlyj

基于这道数学题：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=12514&pid=60461
$$\max\{\min\{a,b\},\min\{c,d\}\}
=\min\{\max\{a,c\},\max\{b,d\}\}$$
这对于所有 a,b,c,d 都成立吗？

大多数情况下都是成立。但是，也有一些组合不成立，例如：
- \( (1, 3, 4, 2) \)
- \( (1, 4, 3, 2) \)
- \( (2, 3, 4, 1) \)
- \( (2, 4, 3, 1) \)
- \( (3, 1, 2, 4) \)
- \( (3, 2, 1, 4) \)
- \( (4, 1, 2, 3) \)
- \( (4, 2, 1, 3) \)

1. import itertools
3. # Function to compute the left-hand side of the equation
4. def lhs(a, b, c, d):
5.     return max(min(a, b), min(c, d))
7. # Function to compute the right-hand side of the equation
8. def rhs(a, b, c, d):
9.     return min(max(a, c), max(b, d))
11. # Verify for all possible combinations of a, b, c, d where a, b, c, d are distinct integers
12. values = [1, 2, 3, 4]
13. all_combinations = list(itertools.permutations(values, 4))
15. # Check all combinations
16. results = []
17. for combo in all_combinations:
18.     a, b, c, d = combo
19.     if lhs(a, b, c, d) == rhs(a, b, c, d):
20.         results.append((a, b, c, d, True))
21.     else:
22.         results.append((a, b, c, d, False))
24. results

复制代码

这表明，虽然该方程在许多情况下成立，但它并不适用于 a、b、c、d 的所有可能组合。

hbghlyj

我们现在要处理一个特殊情况，其中 min 和 max 操作中的值仅取决于 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)：$$\max\{\min\{0,b\},\min\{c,a+b+c\}\} =\min\{\max\{0,c\},\max\{b,a+b+c\}\}$$
这对于所有 a,b,c 都成立吗？

1. # Function to compute the left-hand side of the equation
2. def lhs_extended(a, b, c):
3.     return max(min(0, b), min(c, a + b + c))
5. # Function to compute the right-hand side of the equation
6. def rhs_extended(a, b, c):
7.     return min(max(0, c), max(b, a + b + c))
9. # Testing different values of a, b, and c
10. test_values = [
11.     (0, 1, 2),   # Simple positive values
12.     (-1, 2, 3),  # Negative a
13.     (1, -2, 3),  # Negative b
14.     (1, 2, -3),  # Negative c
15.     (0, 0, 0),   # All zeroes
16.     (0, -1, 1),  # Edge case with 0 and negative values
17.     (-1, -1, -1) # All negatives
18. ]
20. # Check all cases
21. test_results = [(a, b, c, lhs_extended(a, b, c) == rhs_extended(a, b, c)) for a, b, c in test_values]
23. test_results

复制代码

似乎对这些测试用例都成立。基于此，该方程似乎通常是正确的。

不，您应该尝试 -4,2,3，该方程不适用于这组特定值。
对于 \( a = -4 \)、\( b = 2 \) 和 \( c = 3 \)，结果如下：

1. a, b, c = -4, 2, 3
2. lhs_result = lhs_extended(a, b, c)
3. rhs_result = rhs_extended(a, b, c)
4. lhs_result, rhs_result, lhs_result == rhs_result

复制代码

左侧=1
右侧=2

这表明，该等式对于 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 的所有值不是都普遍成立的。它在很多情况下都成立，但某些条件（例如 \(a = -4\) 这样的负值）会破坏等式。

hbghlyj

对于 \( a = -4 \)、\( b = 2 \) 和 \( c = 3 \)，检验kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=12514
$$\tag1\label1\max_{y\in [0,1]}\left(\min_{x\in [0,1]}f(x,y)\right)= \min_{x\in[0,1]}\left(\max_{y\in[0,1]}f(x,y)\right)$$
计算左侧值：
Minimize [{-4 x y + 2 x + 3 y, 0 <=x <= 1}, x]
$$
\min_{0 \leq x \leq 1}(-4 x y+2 x+3 y)= \begin{cases}2-y & 2 y \geq 1 \\ 3 y & \text { (otherwise) }\end{cases}
$$
Plot[Evaluate[Piecewise[{{2 - y, 2 y >= 1}}, 3 y]], {y, 0, 1}]

$$
\max_{0 \leq y \leq 1}\left(\min_{0 \leq x \leq 1}(-4 x y+2 x+3 y)\right)=1.5
$$
计算右侧值：
Minimize [{-4 x y + 2 x + 3 y, 0 <=y <= 1}, y]
$$
\max_{0 \leq y \leq 1}\left(-4 x y+2 x+3 y \right)= \begin{cases}3-2 x & 4 x \geq 3 \\ 2 x & \text { (otherwise) }\end{cases}
$$
Plot[Evaluate[Piecewise[{{3 - 2 x, 4 x >= 3}}, 2 x]], {x, 0, 1}]

$$
\min_{0 \leq x \leq 1}\left(\max_{0 \leq y \leq 1}(-4 x y+2 x+3 y)\right)=1.5
$$
等式\eqref{1}成立！