一元根式函数最值

敬畏数学

$ x>0,f(x)=\frac{1}{2} x+\sqrt{x^2-4x+16}$的值域————。（除导数法、判别式法。）

kuing

\begin{align*}
f(x)&=\frac12x+\sqrt{\left(\frac14+\frac34\right)\bigl((2-x)^2+12\bigr)}\\
&\geqslant\frac12x+\frac12(2-x)+3\\
&=4,
\end{align*}
取等条件为 `x=0`，而你条件 `x>0` 导致取不到，但能无限接近，所以没有最小值，值域是 `(4,+\infty)`。

敬畏数学

kuing 发表于 2024-10-15 10:26
\begin{align*}
f(x)&=\frac12x+\sqrt{\left(\frac14+\frac34\right)\bigl((2-x)^2+12\bigr)}\\
&\geqslant ...

nice！已经改了！柯西可以，秒解。几何法也行，过原点作30°直线。