月牙面积

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Hippocrates 想要解决化圆为方问题,即通过直尺和圆规构造一个正方形,与给定的圆具有相同的面积. 因为 $A{B}^2=2A{O}^2$,所以扇形AOB和半圆ADB的面积相等,去掉公共部分就得到: 标有 E 和 F 的弧所包围的月形与三角形 ABO 的面积相等. 这为解决化圆为方问题提供了一些希望,因为月形的边界是圆弧.

类似地,阿拉伯数学家 Hasan Ibn al-Haytham(拉丁名 Alhazen,c. 965 – c. 1040)证明了,以直角三角形的两个直角边为直径向外作两个半圆,再作出三角形的外接圆,则这三段圆弧所包围的两个半月形的面积之和等于三角形的面积.

20 世纪中叶,两位俄罗斯数学家 Nikolai Chebotaryov 和他的学生 Anatoly Dorodnov 完全分类了可以用圆规和直尺构建并且与给定正方形具有相等面积的月牙.所有这些月牙都可以由各自圆上的内弧和外弧形成的两个角来指定; 例如,在这种表示法中, Hippocrates的月牙将具有内角和外角(90°,180°). Hippocrates 发现了另外两个可化方的凹月,其角度大约为 (107.2°, 160.9°) 和 (68.5°, 205.6°). 1766 年,Martin Johan Wallenius [ru] 和 Thomas Clausen 于 1840 年再次发现了另外两个可平方的凹月,角度约为 (46.9°, 234.4°) 和 (100.8°, 168.0°). Chebotaryov 和 Dorodnov 证明了,可化方的月牙角仅有这五对角;特别地,没有可化方的凸月.
[JSTOR: The Problem of Squarable Lunes ]
其他例子:

设正方形的边长为1,则大圆的半径都是1,面积是 $\pi$, 小圆的半径是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 小圆的面积是 $\frac{1}{2}\pi$, 黄色面积 $\pi -\frac{1}{2}\pi -(\frac{1}{2}\pi -1)=1=$正方形面积.

梯形的面积 = 3 · 月牙形AB的面积 + 半圆AO的面积.