三次曲面的奇点

hbghlyj · 发表于 2024-10-26 18:54

第七系列中的许多模型展示了三次曲面上奇点的不同可能配置。这种按奇点配置对三次曲面进行分类的方法并不区分射影等价的曲面（即通过线性坐标变换相关的曲面），因为如果这样做，模型的数量将会非常多。（注意，模型 VII 2、3、4、5、6 都是射影等价的。这一开始令人惊讶，因为这些模型看起来非常不同。）

在这里，我们将考虑两个奇点是“相同的”，如果可以应用双全纯局部坐标变换（满足良好的光滑性条件，其逆变换也满足这些条件）将一个变换为另一个（反之亦然）。Rodenberg描述了两个曲面具有相同的“形状”，如果它们可以连续变形为彼此而不改变任何奇点的“阶数”，或通过奇点穿过曲面。

使用现代奇点理论可以使这种描述更加具体。这些奇点分类的细节相当技术性。有关我们模型中存在的奇点类型的更多信息，即 $A_{n}, D_{n}, E_{6}$，请参见Miles Reid 关于曲面和奇点的精彩描述 [1]。简而言之，$A_{n}$ 奇点类似于原点处的 $x^2 + y^2 + z ^{n+1} = 0$，$D_{n}$ 对应于原点处的 $x^2 + y^{2} z + z^{n−1} = 0$，而 $E_{6}$ 对应于原点处的 $x^2 + y^3 + z^4 = 0$。

对于三次曲面，大约有 20 种可能的奇点配置，如第七系列所示。Clebsch 三次曲面，模型 VII 1，没有奇点，而模型 VII 2 到 19 代表有限多个奇点的各种配置，其中一些是射影等价的。VII 20、21 和 22 有无限多个奇点，所有这些奇点构成一条曲线。事实证明，任何具有超过四个奇点的三次曲面必须有一条由奇点组成的曲线。

模型

这种按奇点类型分类的理论相当复杂，但模型之美及其形状的多样性是不言而喻的。回想一下模型 VII 1（Clebsch 对角曲面），它是一个没有奇点且有 27 条直线的三次曲面。还有直纹三次曲面 VII 20、21、22有无限多个双点和无限多条直线。现在我们将探索Rodenberg分类中其他模型的其他类型的奇点和直线数量：

参考文献

[1] Chapters on Algebraic Surfaces, Miles Reid (1996), 80-109 (Chapter 4), arXiv:alg-geom/9602006v1

hbghlyj · 发表于 2024-10-26 18:57

maths.ox.ac.uk文章有点旧了，图片都丢失了

hbghlyj · 发表于 2024-10-26 18:58

https://singsurf.org/parade/Cubics.php

Type	Normal form	Curve in 2D	Surface in 3D		Coxeter diagram
Simple singularities
A₁	x²+y²+z²
A₂	x³+y²+z²
A₃	x⁴+y²+z²
A₄	x⁵+y²+z²
A₅	x⁶+y²+z²
D₄	x³+x y²+z²
D₅	x⁴+x y²+z²
E₆	x³+y⁴+z²
Non simple singularities
Ẽ₆	x³+y³+z³ +k x y z