三角形面积最大值

敬畏数学

$ \triangle ABC,AB=2，\angle C=2\angle A,\triangle ABC $面积最大时，$ \cos C$的值？面积表示为角C比较复杂，平面几何法？

Aluminiumor

先剥蒜一下，过会看看有没有简便一点的方法：
$$C=2A\Longrightarrow \sin(C-A)=\sin A\Longrightarrow \sin(C-A)\sin(C+A)=\sin A\sin B$$
由正弦平方差公式，$\sin^2C-\sin^2A=\sin A\sin B\Longleftrightarrow c^2-a^2=ab$
故 $b=\dfrac{4-a^2}{a}$. 易知 $a\in(1,2)$
由海伦公式，
$$S^2=\frac{(a^2-1)(a^2-4)^2}{a^4}$$
令 $f(t)=\dfrac{(t-1)(t-4)^2}{t^2},1<t<4$
$$f'(t)=\frac{(t-4)(t^2+4t-8)}{t^3}$$
$S$ 最大时，$t=2\sqrt{3}-2$
$$\cos C=\frac{a^2+\left(\dfrac{4-a^2}{a}\right)^2-4}{2a\cdot\dfrac{4-a^2}{a}}=\frac{2}{a^2}-1$$
故面积最大时，$\cos C=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

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Aluminiumor 发表于 2024-10-29 18:08
先剥蒜一下，过会看看有没有简便一点的方法：
$$C=2A\Longrightarrow \sin(C-A)=\sin A\Longrightarrow \si ...

可以的。再想想可以简单点吗？谢谢。

Aluminiumor

由正弦定理，
$$a=\frac{2\sin A}{\sin2A},b=\frac{2\sin 3A}{\sin2A}$$
$S$ 最大即 $\dfrac{2\sin A\sin3A}{\sin2A}=\dfrac{\cos2A-\cos4A}{\sin2A}=\dfrac{\cos C-\cos2C}{\sin C}$ 最大.
令 $$f(C)=\dfrac{\cos C-\cos2C}{\sin C}$$
$$f'(C)=\frac{2\sin C\sin2C+\cos C\cos2C-1}{\sin^2C}=\frac{\cos C(3-2\cos^2C)-1}{\sin^2C}$$
$x(3-2x^2)-1=(1-x)(2x^2+2x-1)$
故 $S$ 最大时 $\cos C=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

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求助平面几何高手？