关于多边形中点的反射

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The Group Generated by Central Symmetries, with Application to Polygons, Edward Kasner
Source: The American Mathematical Monthly , Mar., 1903, Vol. 10, No. 3 (Mar., 1903), pp. 57-63$\newcommand{S}{\text{§}}$

本文的目的是推广以下众所周知的初等几何定理：如果连接任意四边形连续边的中点，所得图形是一个平行四边形。在三角形的情况下，相应的构造得到一个没有任何特殊性质的三角形。因此，问题就出现了，对于多于四边的多边形，是否存在类似于四边形的定理。将证明，在这方面，偶数边的多边形和奇数边的多边形之间存在本质区别。这主要取决于在§1中讨论的群的性质。

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§1. The Group.

1. 平面的任意平移 $T$ 可以写成
$$\begin{split}\quad x'=x+h\\y'=y+k\end{split}\tag{$T$}$$
其中 $h$ 和 $k$ 是对应于平移的向量在坐标轴方向上的分量。显然，所有的平移形成一个群；因为任意两个平移的复合，例如 $T_{1}$ 和 $T_{2}$，其向量分量分别为 $h_{1}, k_{1}$ 和 $h_{2}, k_{2}$，其复合为$$
\begin{aligned}
&x'=x+h_{1}+h_{2} \\
&y'=y+k_{1}+k_{2}
\end{aligned}
$$
这本身就是一个平移。

2. 现在考虑称为中心或点对称的变换。这样的对称性定义为
$$\begin{split}x'=-x+2 a\\y'=-y+2 b\end{split}\tag{$S$}$$
其中 $a, b$ 是对称中心的坐标，即固定点 $P$，对应点 $x, y$ 和 $x', y'$ 关于该点对称。对称性本身不构成群，但我们现在证明

平移 $T$ 和中心对称 $S$ 形成一个群。

首先，两个对称性的乘积是一个平移。 因为，如果 $S_{1}$ 的中心是 $P_{1}$，其坐标为 $\left(a_{1}, b_{1}\right)$，而 $S_{2}$ 的中心是 $P_{2}$，其坐标为 $\left(a_{2}, b_{2}\right)$，则复合 $S_{1} S_{2}$ 给出
$$
\begin{aligned}
&x'=x+2\left(a_{2}-a_{1}\right) \\
&y'=y+2\left(b_{2}-b_{1}\right) .
\end{aligned}
$$
该平移的向量是向量 $P_{1} P_{2}$ 的两倍。同样，乘积 $S_2S_1$ 是向量为 $P_2 P_{1}$ 的两倍的平移。其次，对称性和平移的乘积是一个对称性。 因为，变换 ${S T}$ 是
$$
\begin{aligned}
&x'=-x+2 a+h \\
&y'=-y+2 b+k
\end{aligned}
$$
这是一个中心通过应用 $T$ 的向量从 $S$ 的中心获得的对称性。同样，反向顺序的乘积，即 $TS$ 是通过应用与 $T$ 相反的向量从 $S$ 的中心获得的对称性。

因此，任何 $T$ 和 $S$ 的复合变换本身要么是 $T$，要么是 $S$，因此群性质得以证明。在 Lie 的术语中，所考虑的群是一个混合的双参数群，由两个连续的变换系统组成。平移构成一个自共轭子群。

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3. 由于两个对称的乘积是一个平移，并且平移构成一个群，因此偶数个对称的乘积是一个平移。$2k$个对称$S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{2 k}$的乘积实际上是$$
\begin{aligned}
&x'=x+2\left(a_{2 k}-a_{2 k-1}+\ldots+a_{2}-a_{1}\right) \\
&y'=y+2\left(b_{2 k}-b_{2 k-1}+\ldots+b_{2}-b_{1}\right)
\end{aligned}$$
其中$a_{i}, b_{i}$表示$S_{i}$的中心$P_{i}$的坐标。通过观察差值$a_{2}-a_{1}, b_{2}-b_{1}$，例如，它们是向量$P_{1} P_{2}$的分量，可以几何地解释这些公式；因此，结果平移的向量是向量和的两倍$$
P_{1} P_{2}+P_{3} P_{4}+\ldots+P_{2 k-1} P_{2 k}$$

4. 奇数个对称可以通过将第一个对称与所有剩余对称的乘积相结合来组合，根据第3条，这是一个平移。因此，奇数个对称的乘积是一个对称。如果对称是$S_{1}, S_{2}, \ldots, S_{2 k+1}$，它们的乘积是$$
\begin{aligned}
&x'=-x+2\left(a_{2 k+1}-a_{2 k}+\ldots+a_{3}-a_{2}+a_{1}\right) \\
&y'=-y+2\left(b_{2 k+1}-b_{2 k}+\ldots+b_{3}-b_{2}+b_{1}\right)
\end{aligned}$$
结果对称的中心是通过应用向量和从第一个对称的中心$P$获得的$$
P_{2} P_{3}+P_{4} P_{5}+\ldots+P_{2 k} P_{2 k+1}$$

5. 应用的关键在于变换的不动点，即被变换为自身的点。排除无穷远点的考虑，我们首先观察到，在对称的情况下，有且只有一个不动点，即对称中心。另一方面，在平移的情况下，除非平移简化为恒等变换，否则没有不动点，在这种情况下，平面的所有点都是不动点。

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§2. Mid-Point Polygons.

6. 考虑任意一个多边形，其顶点依次为 $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$。如果将边的中点依次连接起来，我们会得到一个具有相同边数的新多边形，为简便起见，可以称之为内接多边形；原始多边形在与派生多边形的关系中则称为外接多边形。对于每个多边形，都有一个确定的内接多边形。现在要考虑的问题是逆问题：给定一个任意多边形 $P_{1}, \ldots, P_{n}$，是否可以构造一个外接多边形，即，是否可以找到 $n$ 个点 $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{n}$，使得 $P_{1}$ 位于 $Q_{1}$ 和 $Q_{2}$ 的中间，$P_{2}$ 位于 $Q_{2}$ 和 $Q_{3}$ 的中间，依此类推，直到最后 $P_{n}$ 位于 $P_{n}$ 和 $Q_{1}$ 的中间？

为了回答这个问题，暂时取平面上的任意一点 $Q$；以 $P_{1}$ 为对称点构造对称点；然后以 $P_{2}$ 为对称点构造刚得到的点的对称点；依次类推，直到最后以 $P_{n}$ 为对称点得到一个点 $Q'$。原始多边形 $P_{1}, \ldots ,P_{n}$ 由此定义了一个确定的变换，通过该变换，任意点 $Q$ 对应一个唯一的点 $Q'$。这个变换只是 $n$ 个对称的乘积，因此，根据前一节的内容，当 $n$ 为偶数时是平移，当 $n$ 为奇数时是对称。

7. 首先考虑边数为奇数的多边形 $n=2k+1$ 的情况。此时从 $Q$ 到 $Q'$ 的变换是对称变换。因此，根据 5，存在一个在此变换下保持不变的点。记这个点为 $Q_{1}$，通过对 $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2k}$ 的连续对称变换，我们得到点 $Q_{2}, Q_{3}, \ldots, Q_{2k+1}$；$Q_{2k+1}$ 和 $Q_{1}$ 必然关于最后一个顶点 $P_{2k+1}$ 对称，因此 $Q_{1}, \ldots, Q_{2k+1}$ 实际上是唯一的外接多边形的顶点。

任何边数为奇数的多边形都可以作为内接多边形获得；存在且仅存在一个外接多边形。

外接多边形可以通过应用 4 末尾所述的结果来构造。第一个顶点 $Q_{1}$ 是通过对原始多边形的第一个顶点 $P_{1}$ 应用向量和 $P_{2}P_{3}+P_{4}P_{5}+\ldots+P_{2k}P_{2k+1}$ 得到的；然后其余顶点 $Q_{2}, \ldots, Q_{2k+1}$ 通过上述连续对称变换得到。

8. 如果多边形的边数为偶数 $n=2k$，那么根据 3，从 $Q$ 到 $Q'$ 的变换是平移变换，通常不会简化为恒等变换。在这种情况下，根据 5，不存在固定点，因此不存在外接多边形。

对于任意边数为偶数的多边形，不存在外接多边形，即并非所有这样的多边形都可以作为内接多边形获得。

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9. 然而，在结果平移简化为恒等的特殊情况下，这种构造是可能的。如果我们将一个 $2k$-边形称为特殊的，当它可以被一个多边形外接时，结果可以表述为：

任何特殊的 $2k$-边形的特征在于，以多边形的顶点为中心的对称变换的乘积是恒等的。

所考虑的多边形类可以如下定义：根据3中的公式，我们有简化为恒等的条件，所考虑的多边形类可以如下定义：根据3中的公式，我们有简化为恒等的条件，$$
\begin{aligned}&a_{2k}-a_{2k-1}+\ldots+a_{2}-a_{1}=0 \\&b_{2k}-b_{2k-1}+\ldots+b_{2}-b_{1}=0
\end{aligned}$$
这两个条件共同表达了向量和为零$$
P_{1}P_{2}+P_{3}P_{4}+\ldots . P_{2k-1}P_{2k}$$
这个和为零必然导致$$
P_{2}P_{3}+P_{4}P_{5}+\ldots .+P_{2k}P_{1}$$
因为对于任何多边形，所有边的向量和为零。因此

在任何特殊的 $2k$-边形中，交替边的向量和为零；这一条件也是充分的。

上述条件方程也可以写成$$\begin{split}\frac{a_{1}+a_{3}+\ldots .+a_{2k-1}}{k}=\frac{a_{2}+a_{4}+\ldots .+a_{2k}}{k} \\ \frac{b_{1}+b_{3}+\ldots .+b_{2k-1}}{k}=\frac{b_{2}+b_{4}+\ldots .+b_{2k}}{k}\end{split}$$可以解释为：

在任何具有顶点 $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2k}$ 的特殊 $2k$-边形中，交替顶点 $P_{1}, P_{3}, \ldots, P_{2k-1}$ 的平均点（或重心）与其余顶点 $P_{2}, P_{4}, \ldots, P_{2k}$ 的平均点重合。

显然，这两个点都与 $2k$-边形所有顶点的平均点重合。

10. 对于一个特殊的 $2k$-边形，从 $Q$ 到 $Q'$ 的变换如6中所述简化为恒等，因此平面上的每个点都是不变点。因此，在构造外接多边形时，可以假设任意点为第一个顶点 $Q_{1}$，然后通过对 $P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2k-1}$ 的连续对称确定其他顶点。

关于一个特殊的 $2k$-边形，可以构造双重无限的外接 $2k$-边形；换句话说，如果可以在给定的 $2k$-边形外接一个多边形，那么可以外接双重无限的多边形。

我们现在将证明，在这双重无限的 $2k$-边形中，有一个本身也是特殊的，因此关于任何特殊的 $2k$-边形，只能外接一个且仅一个特殊的 $2k$-边形。设任意外接多边形的第一个顶点 $Q_{1}$ 为 $x, y$；然后通过对 $P_{1}$ 的对称得到下一个顶点 $Q_{2}$，为 $-x+2a_{1},-y+2b_{1}$；类似地，$Q_{2}$ 为 $x-2a_{1}+2a_{2}, y-2b_{1}+2b_{2}$；最后，$Q_{2k}$ 为 $-x+2a_{1}-2a_{2}+\ldots+2a_{2k-1},-y+2b_{1}-2b_{2}+\ldots+2b_{2k-1}$。如果现在外接多边形是特殊的，我们必须有$$
Q_{1}Q_{2}+Q_{3}Q_{4}+\ldots+Q_{2k-1}Q_{2k}=0$$
这相当于 $$
\begin{aligned}&kx-(2k-1)a_1+(2k-2)a_{2}-\ldots-a_{2k-1}=0 \\&ky-(2k-1)b_{1}+(2k-2)b_{2}-\ldots-b_{2k-1}=0
\end{aligned}$$
这些方程唯一地确定了 $x$ 和 $y$，即第一个顶点 $Q_{1}$，从而证明了所宣布的定理。

特殊的四边形只是平行四边形。关于任何平行四边形，可以外接双重无限的四边形，其中一个本身也是平行四边形；关于这个平行四边形，可以再外接一个平行四边形，如此无限循环。因此，对于任何特殊的 $2k$-边形，不仅可以无限地内接特殊的 $2k$-边形，还可以外接它们。同样，正如在一般平行四边形内接的四边形本身是任意平行四边形一样，在特殊 $2k$-边形内接的 $2k$-边形没有进一步的特殊化，而是任意的特殊 $2k$-边形。

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11. 在9中给出的第二个特征给出了特殊$2 k$-边形的以下构造。取任意$k$-边形$D', D'', \ldots, D^{(k)}$；在每一边上构造一个平行四边形，例如在$D' D''$上构造$P_{1} D' D''P_{2}$，在$D'' D'''$上构造$P_{3} D'' D''' P_{4}$，最后在$D^{(k-1)} D^{(k)}$上构造$P_{2 k-1} D^{(k-1)} D^{(k)} P_{2 k}$；那么$P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2 k}$将构成一个特殊的$2 k$-边形。为了证明这一点，我们只需观察到，由于交替的边$P_{1} P_{2}, P_{3} P_{4}, \ldots$分别等于并平行于$D' D'', D'' D'''$，前者边的向量和等于辅助$k$-边形所有边的向量和，因此为零。

由此可见，一个特殊的$2 k$-边形完全由其$2 k-1$个顶点确定。因为如果给定$P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{2 k-1}$，我们可以通过从任意点$D'$开始构造辅助$k$-边形，画出等于$P_{1} P_{2}$的向量$D' D''$，然后画出等于$P_{3} P_{4}$的向量$D'' D'''，\ldots$，最后画出等于$P_{2 k-3} P_{2 k-2}$的向量$D^{(k-1)} D^{(k)}$；然后通过从$P_{2 k-1}$画出等于$D^{(k)} D'$的向量找到$P_{2 k}$。这是平行四边形由其三个顶点（当然按顺序给出）确定的事实的推广。

在平行四边形的情况$k=2$之后，第一个值得特别注意的情况是$k=3$，即特殊的六边形。根据上述结果，可以通过在任意三角形的边上构造平行四边形来获得这样的六边形。另一种构造如下：取任意两个有一个公共顶点的平行四边形$A B C O, O D E F$；其余顶点$A B C D E F$构成一个特殊的六边形。通过三对不同的平行四边形可以以这种方式获得相同的六边形。这可以推广到$2 k$-边形。

在9中陈述的第三个特征，在特殊六边形$A B C D E F$的情况下，表明三角形$A C E$的中点与三角形$B D F$的中点重合；因此，通过将每个顶点连接到六边形对角线的中点所得到的六条线是共点的，共点是六边形的平均点。

§3. 扩展到空间

12. 前述结果可以立即扩展到三维空间和更高维空间。事实上，平移和中心对称仍然构成一个群，空间中多边形的结果完全类似于上述方法。关于点对称的性质有一个区别：在平面上，点对称等同于平面内自旋转$180^{\circ}$；然而在空间中，点对称不等同于旋转，因为实际上对应的图形并不全等，而是其部分的排列顺序不同。如果我们将平面中的中心对称视为旋转，那么在空间中的类似物将是线对称，即绕轴旋转$180^{\circ}$。然而，在应用于空间多边形时，仅考虑前一种类型的对称，即关于顶点的点对称。

这些结果也适用于一维，即线上的点集。因此，对于任意集合$P_{1}, P_{2}, \ldots, P_{n}$，存在一个派生的“内接”集合，由线段$P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, \ldots, P_{n} P_{1}$的中点组成。如果$n$是奇数，这个集合是完全任意的，但如果$n$是偶数，则不是；9中陈述的特征几乎完全适用于这些特殊的点集。