求有限制条件的三角函数的最小值

lemondian

已知：$x,y,z\geqslant 0,x+y+z=\dfrac{\pi}{2}$，求$D=\sin(\dfrac{\pi}{3}-\sqrt{xy})+\sin(\dfrac{\pi}{3}-\sqrt{yz})+\sin(\dfrac{\pi}{3}-\sqrt{zx})$的最小值。

kuing

设
\[f(x)=\sin\left(\frac\pi3-\sqrt x\right),\quad x\in[0,1],\]
下面证明它在 `(0,1)` 上为下凸函数，求二阶导数可得
\[f''(x)=\frac1{4x}\cos\left(\frac\pi3-\sqrt x\right)\left( {\frac1{\sqrt x}-\tan\left(\frac\pi3-\sqrt x\right)} \right),\]
则只需证明当 `x\in(0,1)` 时有
\[\frac1{\sqrt x}>\tan\left(\frac\pi3-\sqrt x\right),\quad(*)\]
当 `0<x<1/3` 时有
\[\LHS>\sqrt3=\tan\frac\pi3>\RHS;\]
当 `1/3\leqslant x\leqslant1` 时有
\[\LHS>1=\tan\frac\pi4>\tan\left(\frac\pi3-\frac1{\sqrt3}\right)\geqslant\RHS,\]
所以当 `x\in(0,1)` 时式 (*) 成立，即 `f''(x)>0`。

回到原不等式，由均值有
\[xy\leqslant\left(\frac{x+y}2\right)^2\leqslant\left(\frac\pi4\right)^2<1,\]
另外两项同理，所以 `xy`, `yz`, `zx\in[0,1]`，于是由琴生以及 `f` 递减，得
\begin{align*}
D&=f(xy)+f(yz)+f(zx)\\
&\geqslant3f\left(\frac{xy+yz+zx}3\right)\\
&\geqslant3f\left(\frac{(x+y+z)^2}9\right)\\
&=3\sin\left(\frac\pi3-\frac{x+y+z}3\right)\\
&=3\sin\frac\pi6\\
&=\frac32,
\end{align*}
当 `x=y=z` 取等。