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$f:\mathbb{Z}^2\to\mathbb{R}$ 满足\begin{equation}f(a,b) = \frac{f(a-1,b) + f(a + 1,b) + f(a, b-1) + f(a, b+1)}4\label1\end{equation}
也就是说，$f$ 在 $(a,b)$ 处的值是其邻居的平均值。
grid(2,2);%5Cdraw%5Bthick%5D(1,0)--(0,1)--(-1,0)--(0,-1)--cycle;%5Cfill(0,0)circle(1.5pt);%7D)
问题是：如何推出 $f(x,y)$ 等于任何菱形 $\{(x+a,y+b)\colon |a|+|b|= r\}$ 上的平均值，即
\begin{equation}f(x,y) = \frac{1}{4r}\sum\limits_{|a_1|+|a_2|=r} f(x+a_1,y+a_2)\label2\end{equation}
这是这个证明中的一步，我不知道怎么证明。 |
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