4个数的差的乘积<0

hbghlyj

$a,b,c,d,e$为不同的实数。
\begin{align*}(a-b) (e-a) (b-c) (c-e)<0,\\(a-c) (e-a) (c-d) (d-e)<0,\\\text{求证：}(a-b) (e-a) (b-d) (d-e)<0.\end{align*}

hbghlyj

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realnumber

设$a-b=w,a-c=x,a-d=y,a-e=z$,$w,x,y,z$都不为零且两两不等.
问题化为:
已知:$wz(x-w)(x-z)<0,xz(y-x)(y-z)<0$,求证:$wz(y-w)(y-z)<0$.
(w,x,y,z画在数轴上,会更形象些)
证:1.当$wz>0$时,可得$(x-w)(x-z)<0$,说明$x$介于$w,z$之间,也有$xz>0$,可得$(y-x)(y-z)<0$,即$y$介于$x,z$之间,即得$y$介于$w,z$之间,所以$wz(y-w)(y-z)<0$.
2.当$wz<0$时,可得$(x-w)(x-z)>0$,即$x$落在$w,z$之外
-----     2.1.1w<0,z>0,x<w<0<z,此时xz<0,可得(y-x)(y-z)>0,即y在x,z外,可得y在w,z外,即(y-z)(y-w)>0.
-----2.1.2w<0,z>0,w<0<z<x,此时xz>0,可得(y-x)(y-z)<0,即y在z,x之间,可得可得y在w,z外,即(y-z)(y-w)>0.
2.2.1w>0,z<0,估计也类似吧,如果1楼已经编程检验过.