齐次二次方程组有非零解的充要条件

hbghlyj

关于$x_0,x_1,y_0,y_1,z_0,z_1$的方程组\[\left\{\begin{aligned} & \sum_{i,j\in\{0,1\}} a_{i j k} x_i y_j=0 &k\in\{0,1\}\\ & \sum_{i,k\in\{0,1\}} a_{i j k} x_i z_k=0 &j\in\{0,1\}\\ & \sum_{j,k\in\{0,1\}} a_{i j k} y_j z_k=0&i\in\{0,1\}\end{aligned}\right.\]有非零解的充要条件，这里说是$$(-a_{000} a_{111}+a_{001} a_{110}-a_{010} a_{101}+a_{011} a_{100})^2-4 (a_{001} a_{100}-a_{000} a_{101}) (a_{011} a_{110}-a_{010} a_{111})=0$$ 如何证明

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关于$x_0,x_1,y_0,y_1,z_0,z_1$的方程组可以输入Mathematica：

1. {a000 x0 y0+a010 x0 y1+a100 x1 y0+a110 x1 y1,a001 x0 y0+a011 x0 y1+a101 x1 y0+a111 x1 y1,a000 x0 z0+a001 x0 z1+a100 x1 z0+a101 x1 z1,a010 x0 z0+a011 x0 z1+a110 x1 z0+a111 x1 z1,a000 y0 z0+a001 y0 z1+a010 y1 z0+a011 y1 z1,a100 y0 z0+a101 y0 z1+a110 y1 z0+a111 y1 z1}

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我知道了！由齐次性，不妨设$x_0=y_0=z_0=1$
消去二次项$x_1y_1,x_1z_1,y_1z_1$得

1. Solve[{a111(a000 x0 y0+a010 x0 y1+a100 x1 y0+a110 x1 y1)-a110(a001 x0 y0+a011 x0 y1+a101 x1 y0+a111 x1 y1)==0,a111(a000 x0 z0+a001 x0 z1+a100 x1 z0+a101 x1 z1)-a101(a010 x0 z0+a011 x0 z1+a110 x1 z0+a111 x1 z1)==0,a111(a000 y0 z0+a001 y0 z1+a010 y1 z0+a011 y1 z1)-a011(a100 y0 z0+a101 y0 z1+a110 y1 z0+a111 y1 z1)==0}/.{x0->1,y0->1,z0->1},{x1,y1,z1}]

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这是关于$x_1,y_1,z_1$的一次方程组！解得
$$\left\{\begin{aligned}x_1&= -\frac{a_{000} a_{111}-a_{001} a_{110}-a_{010} a_{101}+a_{011} a_{100}}{2 (a_{100} a_{111}-a_{101} a_{110})}\\
y_1&=-\frac{-a_{000} a_{111}+a_{001} a_{110}-a_{010} a_{101}+a_{011} a_{100}}{2 (a_{011} a_{110}-a_{010} a_{111})}\\
z_1&=-\frac{-a_{000} a_{111}-a_{001} a_{110}+a_{010} a_{101}+a_{011} a_{100}}{2 (a_{011} a_{101}-a_{001} a_{111})}\end{aligned}\right.$$
代入$a_{000} x_0 y_0 + a_{010} x_0 y_1 + a_{100} x_1 y_0 + a_{110} x_1 y_1=0$得

1. Factor[a000 x0 y0+a010 x0 y1+a100 x1 y0+a110 x1 y1/.{x0->1,y0->1,z0->1,x1->-((a011 a100-a010 a101-a001 a110+a000 a111)/(2 (-a101 a110+a100 a111))),y1->-((a011 a100-a010 a101+a001 a110-a000 a111)/(2 (a011 a110-a010 a111))),z1->-((a011 a100+a010 a101-a001 a110-a000 a111)/(2 (a011 a101-a001 a111)))}]

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分子约去a110，恰好是(-a000 a111+a001 a110-a010 a101+a011 a100)^2-4 (a001 a100-a000 a101) (a011 a110-a010 a111)

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一共6个式子，但有两个式子是多余的。例如用第1,2,3,5式能推出第4,6式：
第1式：$\sum_{i,j\in\{0,1\}} a_{i j 0} x_i y_j=0$
第2式：$\sum_{i,j\in\{0,1\}} a_{i j 1} x_i y_j=0$
$z_0$×第1式 + $z_1$×第2式 得到：$$\sum_{i,j,k\in\{0,1\}} a_{i j k} x_i y_jz_k=0$$
减去$y_0$×第3式（$\sum_{i,k\in\{0,1\}} a_{i0k} x_i z_k=0$），再除以$y_1$，就得到第4式（$\sum_{i,k\in\{0,1\}} a_{i1k} x_i z_k=0$）。
减去$x_0$×第5式（$\sum_{j,k\in\{0,1\}} a_{0 j k} y_j z_k=0$），再除以$z_1$，就得到第6式（$\sum_{j,k\in\{0,1\}} a_{1 j k} y_j z_k=0$）。