圆内接四边形的九点二次曲线为等轴双曲线

hbghlyj

A,B,C,D的九点二次曲线为“经过A,B,C,D的所有二次曲线的中心的轨迹”。

问题：
若ABCD为圆内接四边形，求证A,B,C,D的九点二次曲线为等轴双曲线

hbghlyj

使用@Blue的回答中的计算结果，设四点的坐标为$P = p\;(\cos\theta, \sin\theta)$, $Q = q\;(\cos\theta, -\sin\theta)$, $R = r\;(-\cos\theta, -\sin\theta)$, $S = s\;(-\cos\theta,\sin\theta )$则九点二次曲线为
\begin{align*}
0 \quad=\quad &\phantom{2} x^2 ( p r - q s )\sin^2\theta \\
+\; &\phantom{2} y^2 ( p r - q s ) \cos^2\theta \\
-\; &2 x y ( p r + q s ) \sin\theta \cos\theta \\
+\; &\phantom{2} x ( (p-r) qs - pr(q-s) ) \sin^2\theta \cos\theta  \\
+\; &\phantom{2} y ( (p-r) qs + pr(q-s) ) \sin\theta \cos^2\theta  
\end{align*}
为了证明该二次曲线为等轴双曲线，需要$x^2$和$y^2$项的系数之和为0，即$$pr=qs$$根据$p,q,r,s$的定义$p=|OP|,\ldots$ 所以这等价于$PQRS$共圆。