一组相似不等式

lemondian

在微信上看到一组不等式：
1.已知实数$a,b$($a,b$均不为0），求证:$|\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+ab|\geqslant |a+b+1|$，并指出何时取等。
2.已知实数$a,b$($a,b$均不为0），求证:$|\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+ab|\geqslant (\sqrt{3}-1)|a+b+2|$，并指出何时取等。
3.已知实数$a,b$($a,b$均不为0），求证:$|\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2ab|\geqslant (\sqrt{5}-1)|a+b+1|$，并指出何时取等。
4.已知实数$a,b$($a,b$均不为0），求证:$|\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+2ab|\geqslant 2(\sqrt{2}-1)|a+b+2|$，并指出何时取等。

战巡

\[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+ab)^2-(a+b+1)^2\]
\[=(a-1)^2+(b-1)^2+(ab-1)^2+(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})^2\]
故此$a=b=1$时取等

\[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+ab)^2-(\sqrt{3}-1)^2(a+b+2)^2\]
\[=[2-(\sqrt{3}-1)^2][a-(\sqrt{3}-1)]^2+[2-(\sqrt{3}-1)^2][b-(\sqrt{3}-1)]^2+[ab-(\sqrt{3}-1)^2]^2+(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})^2\]
故此$a=b=\sqrt{3}-1$时取等
剩下类推

lemondian

战巡 发表于 2024-11-25 17:31
\[(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+ab)^2-(a+b+1)^2\]
\[=(a-1)^2+(b-1)^2+(ab-1)^2+(\frac{a}{b}-\frac{b}{a})^2 ...

这配方法用得真N，不知还有没有其它证法？