求证不存在整数$a$使得$a^2+3a+5\equiv0\pmod{121}$

Tesla35

求证不存在整数$a$使得$a^2+3a+5\equiv0\pmod{121}$

hbghlyj

没有整数 $a$ 满足 $a^{2}+3a+5\equiv0 \pmod {121}$
证明.
$a^2 + 3a + 5 \equiv 0 \pmod {121}$ 等价于 $4a^2 + 12a + 20 \equiv 0 \pmod {121}$ 等价于 $(2a+3)^2+11 \equiv 0 \pmod {121}$

但是现在我们得到 $2a+3$ 被 $11$ 整除，因此 $(2a+3)^2$ 被 $121$ 整除，这与上述条件矛盾，因为 $11$ 不能被 $121$ 整除。证毕！

战巡

令$a=11p+q$，其中$q=0,1,...,10$

那么
\[a^2+3a+5=121p^2+22pq+33p+q^2+3q+5\]
你这玩意要想整除$121$，首先得能整除$11$，那么就要求
\[(q^2+3q+5) \mod 11 =0\]
在$q=0,1,2,...,10$里面，只有$q=4$可以，那就有
\[a^2+3a+5=121p^2+121p+33\]
当然就别想整除$121$了

Tesla35

hbghlyj 发表于 2024-11-25 17:41
没有整数 $a$ 满足 $a^{2}+3a+5\equiv0 \pmod {121}$
证明.
$a^2 + 3a + 5 \equiv 0 \pmod {121}$ 等价于 $ ...

懂了。