不用导数，如何求解呢？

人间风雪客

请大神写一下过程，感谢🙏。

kuing

记 `t=\sqrt[3]{bcd}`，则 `a=1/t^3`，由均值有 `b+c+d\geqslant3t` 及 `bc+bd+cd\geqslant3t^2`，所以
\[\text{原式}\geqslant\frac1{t^6}+\frac3{t^2}+3t^2,\]
再令 `1/t^2=x`，就变成求
\[f(x)=x^3+3x+\frac3x,\quad(x>0)\]
的最小值，然后……emmm...还是求导最好……😅

非要绕过导数，那就待定系数均值，设 `k>0`，则
\begin{align*}
f(x)&=x^3+k^3+k^3+3x+\frac3x-2k^3\\
&\geqslant3(k^2+1)x+\frac3x-2k^3\\
&\geqslant6\sqrt{k^2+1}-2k^3,
\end{align*}
两次取等分别为 `x=k` 和 `(k^2+1)x=1/x`，也就是 `k^2(k^2+1)=1`，解得
\[k^2=\frac{\sqrt5-1}2,\]
下略。