$-1$的5次方根 在四元数中

hbghlyj

我们知道四元数中 $-1$ 的平方根的集合是虚球 $S^2=\{bi+cj+dk|b,c,d\inR,b^2+c^2+d^2=1\}$
我想請問$-1$的5次方根是哪些呢？
仿照 立方根 我们可以先在$\mathbb R$上將$x^5+1$分解成一/二次多項式：
$x^5+1=(x+1)(x^2-2\cos(\fracπ5)x+1)(x^2-2\cos(\frac{3π}5)x+1)$
因此我们得到
$x=-1$或
$x = \cos(\fracπ5)\pm u\sin(\fracπ5)$或
$x = \cos(\frac{3π}5)\pm u\sin(\frac{3π}5)$
，其中$u$ 是 $-1$ 的平方根，也就是虚球$S^2$的元素。

hbghlyj

举一个unit icosian的例子，取$u=\frac1{2\sin(\fracπ5)}(ϕ^{-1}i+j)\in S^2$，得$x = \frac12(ϕ + ϕ^{-1}i + j + 0k)$，也就是绕 $(1,ϕ,0)$ 旋转 $2π/5$ 角度对应的四元数。

$x$的5次方：
(ϕ/2 + (1/ϕ)/2i + 1/2j + 0k) × (ϕ/2 + (1/ϕ)/2i + 1/2j + 0k) × (ϕ/2 + (1/ϕ)/2i + 1/2j + 0k) × (ϕ/2 + (1/ϕ)/2i + 1/2j + 0k) × (ϕ/2 + (1/ϕ)/2i + 1/2j + 0k)
算出來是 $-1$