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kuing
Posted at 2024-12-5 17:16:50
设
\[x_k=\cos\frac{2k\pi}7+i\sin\frac{2k\pi}7,\]
则 `x^7=1` 的七根为 `x_0` 至 `x_6`，而 `x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+\cdots+1)`，所以 `x^6+x^5+\cdots+1=0` 的六根为 `x_1` 至 `x_6`，将此方程配方为
\[\left( x+\frac1x \right)^3+\left( x+\frac1x \right)^2-2\left( x+\frac1x \right)-1=0,\]
由于
\[x_k+\frac1{x_k}=2\cos\frac{2k\pi}7,\]
所以方程 `t^3+t^2-2t-1=0` 的三根为 `2\cos(2\pi/7)`, `2\cos(4\pi/7)`, `2\cos(6\pi/7)`。
再作变换 `t\to-2t` 即得 `-8t^3+4t^2+4t-1=0` 的三根为 `\cos(5\pi/7)`, `\cos(3\pi/7)`, `\cos(\pi/7)`。
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