角格点问题

力工

如图中各角所示的各角已知，如何求未知的角？谢谢大佬们，未知角用几何画板测是$28\du$.

力工

贴一个证明，请各位大佬们继续指点。

ljh25252

关于角格点问题已经有通法──三外心法：
详情见 斉藤浩的2009年书《ラングレーの問題にトドメをさす！》 给出了所有角格点问题，以及 《初等幾何で整角四角形を完全制覇》 给出了遗漏的两种情况并详细介绍了三外心法。
在这里 zhuanlan.zhihu.com/p/105111160 给出了完全分类。
在这个特定的问题下，三外心方法的解决方案见：zhuanlan.zhihu.com/p/668727891

因此我不打算采用已有的三外心方法以及纯几何方法解决这个问题。
考虑如下引理：
$A_1A_2\cdots A_n$ 为空间一个折线形。 其中 $P$ 为空间一点。记 $\angle PA_iA_{i+1}=\alpha_i, \angle PA_{i+1}A_i=\beta_i, i=1,2,\ldots,n$ 约定 $A_{n+1}=A_1$ 有
$$
\prod_{i=1}^n\sin\alpha_i=\prod_{i=1}^n\sin\beta_i
$$

证明很简单
在 $\trangle PA_{i}A_{i+1}$ 中，由正弦定理得： $PA_i\sin\alpha_i=PA_{i+1}\sin\beta_i$, 令 $i=1,2,\ldots,n$ 得到 $n$ 个等式，左右两边分别相乘即可得到：
$$
\prod_{i=1}^n\sin\alpha_i=\prod_{i=1}^n\sin\beta_i
$$

在本题令 $P$ 为 $AC$ 与 $BD$ 的交点，取折线形 $ABCD$ 则有

$$
\begin{aligned}
\sin\angle PAB\sin\angle PBC\sin\angle PCD\sin\angle PDA&=\sin\angle PBA\sin\angle PCB\sin\angle PDC\sin\angle PAD\\
\Leftrightarrow\sin 92^\circ\sin24^\circ\sin 48^\circ\sin\angle PDA        &=\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin\angle PAD\\
\Rightarrow \sin92^\circ\sin24^\circ\sin48^\circ\sin\angle PDA&=\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin(62^\circ-\angle PDA)\\
&=\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin62^\circ\cos\angle PAD-\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\cos62^\circ\sin\angle PDA\\
&=\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin62^\circ\cos\angle PAD-\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin28^\circ\sin\angle PDA\\
\Leftrightarrow \tan\angle PDA&=\frac{\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin62^\circ}{\sin92^\circ\sin24^\circ\sin48^\circ+\sin26^\circ\sin38^\circ\sin 70^\circ\sin28^\circ}\\
\Rightarrow \tan\angle PDA&=\tan 28^\circ\\
\Rightarrow \angle PDA&=28^\circ
\end{aligned}\\
$$

三角函数化简部分复杂，而目的仅是提供另一思路，故省略之。

abababa

其实三角函数化简部分才是最困难的，软件能马上得到结果，但是没有能正常阅读的化简过程。下面的方法是maven网友教我的，可以一般地解决这类问题，虽然那个化简也很复杂，但是确实用手算也能算得出来。

以下角的数字和字母都表示度。设$\angle ADB=x$，于是
\[1=\frac{AC}{AD}\cdot\frac{AD}{AB}\cdot\frac{AB}{AC}=\frac{\sin(x+70)}{\sin48}\cdot\frac{\sin26}{\sin x}\cdot\frac{\sin38}{\sin50}\]

设$f(x)=\frac{\sin(x+70)}{\sin x}=\cos70+\sin70\cot x$，则由上式知$f(x)$是常数。因为$x+70=\angle ADC<180-48$，所以$0<x<62$，而$f(x)$在$[0,62]$上单调，所以方程$f(x)=\text{常数}$至多有一个解。只要证明$x=28$是一个解，也即证明
\begin{align*}
1
&=\frac{\sin(x+70)}{\sin48}\cdot\frac{\sin26}{\sin x}\cdot\frac{\sin38}{\sin50}\\
&=\frac{\sin98}{\sin48}\cdot\frac{\sin26}{\sin28}\cdot\frac{\sin38}{\sin50}
\end{align*}
设$e^{i\frac{\pi}{180}}=t$，则只要证明
\[\frac{(t^{98}-t^{-98})(t^{26}-t^{-26})(t^{38}-t^{-38})}{(t^{48}-t^{-48})(t^{28}-t^{-28})(t^{50}-t^{-50})}=1\]
根据$t^{180}=-1$，化简上式，约去非零因子$x^{a}$，其中$a$是整数，最后只要证明
\[t^{144}+t^{136}+t^{132}+t^{128}-t^{108}-t^{76}-t^{68}-t^{36}+t^{16}+t^{12}+t^8+1=0\]

然后要用到一个$t=e^{i\frac{\pi}{180}}$的极小多项式是$t^{96}+t^{84}-t^{60}-t^{48}-t^{36}+t^{12}+1$（这个怎么来的我现在不记得了，只记住了这个结论，角格点最终都是t的整数倍，所以这个是通用的），上面那个正好能被极小多项式整除，所以必定是零，就证明了$x=28$是一个解，前面已经证明了有解必唯一，所以就是唯一解。