中点 $H$ 与点 $C$ 的位置无关

hbghlyj

你能证明下面的命题吗？

在任意三角形 $\triangle ABC$ 中，在边 $AC$ 和 $BC$ 上分别构造三角形 $\triangle ACE$ 和 $\triangle BDC$ ，使得 $\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}$ 且 $\angle EAC+\angle CBD=180^{\circ}$ 成立。设点 $F$ 和 $G$ 分别以相同的任意比例划分边 $AE$ 和 $BD$ 。连接点 $F$ 和 $G$ 的线段的中点 $H$ 与点 $C$ 的位置无关。

展示此命题的 GeoGebra 在这里。
Bottema定理

hbghlyj

证明.（复数）考虑 $A$, $B$, $C$ 为复数，并选择一个 $\lambda \in \mathbb{R}$.
记 $\angle EAC=\alpha$ , $\angle CBD=\beta$ 和 $\frac{AE}{AC}=\frac{BD}{BC}=k$
那么，
$$F=A+\lambda(E-A)=A+\lambda \cdot k(\cos \alpha +i \sin \alpha)(C-A)$$
$$G=B+\lambda(D-B)=B+\lambda \cdot k(\cos (-\beta) +i \sin (-\beta))(C-B)$$
$$H=\frac{1}{2}(F+G)=\frac{1}{2}(A+\lambda \cdot k(\cos \alpha +i \sin \alpha)(C-A)+$$$$B+\lambda \cdot k(-\cos \alpha -i \sin \alpha)(C-B))=$$
$$\frac{1}{2}(A+\lambda \cdot k(\cos \alpha + i\sin \alpha)C-\lambda \cdot k(\cos \alpha + i\sin \alpha)A+$$$$B-\lambda \cdot k(\cos \alpha + i\sin \alpha)C+\lambda \cdot k(\cos \alpha + i\sin \alpha)B)=$$
$$\frac{1}{2}(A(1-\lambda \cdot k(\cos \alpha + i\sin \alpha))+B(1+\lambda \cdot k(\cos \alpha + i\sin \alpha)))$$
这表明 $H$ 与点 $C$ 的位置无关。

证毕。

爪机专用

让我想起了这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=5609#pid28406