已知函数最值求参数方法正误？

敬畏数学

$ f(x)=e^x-lnx+(1-m)x-lnm $的最小值是0，m=___.
$ f(x)=e^x-lnx+(1-m)x-lnm \geqslant ex+x-mx-\frac{1}{e}mx$，等号取得$ x=1，mx=e $，所以m=e.解法正确吗？

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