求最大的t，使得p-t可表示为多项式的平方和

hbghlyj

https://sums-of-squares.github.io/sos/index.html#python
Certificates of Positivity

hbghlyj

下面是网页中的Example 3:$$p = x^4+x^2-3 x^2 y^2+y^6$$
最小值是0，当$x=y=-1$.

求最大的$t$，使得$p-t$可表示为多项式的平方和?

hbghlyj

“最大的$t$使得$p-t$是SOS”中，这个$t$不一定是$p$的最小值，只是一个下界，可能比最小值更小。

郝酒

hbghlyj 发表于 2024-12-9 00:21
“最大的$t$使得$p-t$是SOS”中，这个$t$不一定是$p$的最小值，只是一个下界，可能比最小值更小。 ...

他这个实际用处不大呀，得到的系数都是近似的小数，能弄成根号之类的最好了

hbghlyj

郝酒 发表于 2024-12-12 03:09
他这个实际用处不大呀，得到的系数都是近似的小数，能弄成根号之类的最好了 ...

确实！
例如上面的$t=-0.177978515$的精确值为$t=-\frac{729}{4096}$
\[p=x^4+x^2-3 x^2 y^2+y^6+\frac{729}{4096}=\left(x^2-\frac{3 y^2}{2}+\frac{27}{64}\right)^2+\frac{5 x^2}{32}+\left(\frac{9 y}{8}-y^3\right)^2\]

1. PolynomialSumOfSquaresList[x^4+x^2-3 x^2 y^2+y^6+729/4096,{x,y}]

复制代码

hbghlyj

设 $p = x^4+x^2-3 x^2 y^2+y^6$
如何证明“使得 $p-t$ 可表示为多项式的平方和”的 $t$ 的最大值为 $-\frac{729}{4096}$