解方程（看不出从哪里下嘴）

力工

已知$0<a,b<2,ab=2$,解关于$x$的方程$4(x^2+ax+b)(x^2+bx+a)+a^3+b^3=9$.
顺便提一嘴：可否变为不等式问题？

力工

初以为是代数变形，后来发现真是不等式。

kuing

力工 发表于 2024-12-9 08:07
初以为是代数变形，后来发现真是不等式。

具体讲讲呗

另外，x 有无限制？若无限制，恐怕不等式也没法用。

力工

由二次式的性质：$x^2+ax+b=(x+\frac{a}{2})^2+b-\frac{a^2}{4}\geqslant \frac{8-a^3}{4a}>0$，同样，$(x^2+bx+a)\geqslant \frac{8-b^3}{4b}>0$，
所以，$LHS\geqslant \frac{(8-a^3)(8-b^3)}{4ab}+a^3+b^3=8+\frac{(ab)^3}{8}=9$.